Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i \(\displaystyle{ z_0}\) będą dowolnymi liczbami zespolonymi. I dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\):
\(\displaystyle{ z_{n+1} = \frac{1}{2}(z_n+ \frac{a}{z_n} ) }\)
Wykazać, że ten ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ z_0}\) nie jest na symetralnej odcinka łączącego obie wartości \(\displaystyle{ \sqrt{a} }\). I jeśli tak jest t o ciąg \(\displaystyle{ z_n}\) jest zbieżny do bliższego z tych punktów.
Objaśnić kwestię zbieżności, jeśli \(\displaystyle{ z_0}\) jest na tej symetralnej.