Matematyka.pl

Zadanie: Sprowadź do postaci trygonometrycznej:
Czy poniższe rozwiązania są poprawne?
\(\displaystyle{ 1)\ \overline{r(\cos \alpha +i\sin \alpha) }=r(\cos \alpha + i\sin (\pi + \alpha)) }\)

\(\displaystyle{ 2)\ (\cos \alpha + i\sin\alpha)(\cos \beta + i\sin \beta )=\cos ( \alpha + \beta )+ i\sin (\alpha + \beta) }\)

\(\displaystyle{ 3)\ (\cos \alpha + i\sin\alpha)(\sin \beta + i\cos \beta )= (\cos \alpha + i\sin\alpha)(\cos ( \frac{ \pi }{2}- \beta) + i\sin ( \frac{ \pi }{2} -\beta) ) }\) Analogicznie do powyższego odpowiedź to: \(\displaystyle{ \cos ( \alpha - \beta + \frac{ \pi }{2})+i\sin(\alpha - \beta + \frac{ \pi }{2}) }\)




Ponadto czy mogłabym prosić o pomoc w poniższych? Nie wiem od czego w nich zacząć
\(\displaystyle{ 1)\ (r(\cos \alpha +i\sin \alpha))^{-1} }\)
\(\displaystyle{ 2)\ 1+ i\tg \alpha }\)
\(\displaystyle{ 3)\ 1+\cos \alpha +i\sin \alpha }\)
\(\displaystyle{ 4)\ (\cos \alpha +i\sin \alpha)^{k}, k \in \mathbb{N} }\)
Z góry bardzo dziękuję za sprawdzenie i ewentualne wskazówki !

UPDATE: Udało mi się chyba rozwiązać jeszcze podpunkt \(\displaystyle{ 4}\)
Czy odpowiedzią będzie na mocy wzoru de Moivre'a: \(\displaystyle{ \cos(k \alpha) +i\sin (k\alpha)}\) trzeba to jeszcze dalej przekształcać?

Rozwiązania 2), 3) (z pierwszych trzech) oraz 4) (z pozostałych) są ok.

Dodano po 49 minutach 41 sekundach:
1) \(\overline{r(\cos \alpha + i \sin \alpha)}= r(\cos \alpha - i \sin \alpha )= r(\cos (-\alpha )+ i \sin (-\alpha ))= r(\cos (2\pi-\alpha )+ i \sin (2\pi-\alpha ))\).
Druga seria zadań.
Zad. 1)
\((r(\cos \alpha + i \sin \alpha))^{-1}= \frac{1}{r}(\cos \alpha + i \sin \alpha )^{-1}= \frac{1}{r}(\cos (-\alpha )+ i \sin (-\alpha ))=\frac{1}{r}(\cos (2\pi-\alpha )+ i \sin (2\pi-\alpha ))\).
Zad. 2) \(\displaystyle{ 1+ i \tg\alpha = \frac{\cos\alpha + i \sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\left ( \cos\alpha + i \sin\alpha \right)}\)

Dziękuję ślicznie, a mogłabym prosić jeszcze o pomoc w tym podpunkcie?

Madzzia pisze: 3 lis 2021, o 22:46 \(\displaystyle{ 3)\ 1+\cos \alpha +i\sin \alpha }\)

UPDATE:
Takie coś wymyśliłam, ma to sens?
\(\displaystyle{ 1+\cos \alpha +i\sin \alpha=2\cos^{2} \frac{ \alpha }{2}+i\sin(2 \cdot \frac{ \alpha }{2})=2\cos^{2} \frac{ \alpha }{2} +2i\sin \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \frac{ \alpha }{2}=2\cos \frac{ \alpha }{2}(\cos \frac{ \alpha }{2}+i\sin \frac{ \alpha }{2}) }\)

Jeśli \(2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2})\) jest postacią trygonometryczną, to \(2\cos\frac{\alpha}{2}\)jest modułem danej liczby, ale \(\cos\frac{\alpha}{2}\) może przyjmować wartości ujemne.
Jeśli \(\cos\frac{\alpha}{2}\) jest nieujemne, to podana postać jest trygonometryczna.
Jeśli \(\cos\frac{\alpha}{2}\) jest ujemne, to \(2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}) =
-|2\cos\frac{\alpha}{2}|(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}) = |2\cos\frac{\alpha}{2}|(-\cos\frac{\alpha}{2}-i\sin\frac{\alpha}{2}) =
|2\cos\frac{\alpha}{2}|(\cos\left (\pi+\frac{\alpha}{2}\right)+i\sin\left (\pi+\frac{\alpha}{2}\right)\) i wówczas to jest postać trygonometryczna.

Jeśli dodatkowo założymy, że \(\alpha \) jest argumentem głównym liczby \(\cos\alpha+i\sin\alpha\) należącym do \((-\pi;\pi]\), to wówczas \(2\cos\frac{\alpha}{2}\) jest nieujemny i \(2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2})\) jest postacią trygonometryczną danej liczby.