Dzień dobry, mam pytanie jak zabrać się za równania tego typu?
\(\displaystyle{ z^4 = (1+2i)^8}\) lub \(\displaystyle{ z^3 = (6 + i)^6}\).
równanie zespolone
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Re: równanie zespolone
Najprościej skorzystać z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ z_0 \in \mathbb{C}}\) jest jakimkolwiek rozwiązaniem równania postaci \(\displaystyle{ z^n = a}\), to wszystkie rozwiązania wyrażają się wzorami
\(\displaystyle{ z_k = z_0 \left( \cos \frac{2k \pi}{n} + i \sin \frac{2 k \pi}{n} \right)}\), \(\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n-1}\).
Wystarczy więc że znajdziesz po jednym rozwiązaniu każdego z tych równań i podstawisz odpowiednio do wzoru.
Jeśli z jakichś przyczyn nie możesz skorzystać z faktu, to przekształć równania w taki sposób:
\(\displaystyle{ z^4 = (1+2i)^8 \\[1ex]
\frac{z^4}{(1+2i)^8} = 1 \\[1ex]
\left( \frac{z}{(1+2i)^2} \right)^4 = 1,}\)
następnie podstaw \(\displaystyle{ u = \frac{z}{(1+2i)^2}}\) i skorzystaj ze wzoru na pierwiastki z jedności.
\(\displaystyle{ z_k = z_0 \left( \cos \frac{2k \pi}{n} + i \sin \frac{2 k \pi}{n} \right)}\), \(\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n-1}\).
Wystarczy więc że znajdziesz po jednym rozwiązaniu każdego z tych równań i podstawisz odpowiednio do wzoru.
Jeśli z jakichś przyczyn nie możesz skorzystać z faktu, to przekształć równania w taki sposób:
\(\displaystyle{ z^4 = (1+2i)^8 \\[1ex]
\frac{z^4}{(1+2i)^8} = 1 \\[1ex]
\left( \frac{z}{(1+2i)^2} \right)^4 = 1,}\)
następnie podstaw \(\displaystyle{ u = \frac{z}{(1+2i)^2}}\) i skorzystaj ze wzoru na pierwiastki z jedności.
)