Matematyka.pl

\(\displaystyle{ z^{4}\cdot|z|=-8(\bar{z})^{2}}\)
Proszę o pomoc w rozwiązaniu powyższego równania. Próbowałem to wymnażać, kombinować, ale dochodzę do martwego punktu, albo obliczenia stają się żmudne. Wydaję mi się, że można to rozwiązać w prostszy sposób, na który nie potrafię wpaść

Wsk: policz \(\displaystyle{ |z|}\) najpierw

Widać,że liczba: \(\displaystyle{ z = 0}\) jest rozwiązaniem.

Dalej, najprościej skorzystać z postaci wykładniczej.

\(\displaystyle{ r^4e^{4i\psi}\cdot r=(-1)\cdot 8\cdot r^2e^{-2i\psi}}\)

\(\displaystyle{ r^5e^{4i\psi}=8\cdot e^{i \pi }\cdot r^2e^{-2i\psi}}\)

\(\displaystyle{ r^5e^{4i\psi}=8\cdot r^2e^{i( \pi -2\psi)}}\)

Teraz porównujemy te dwie liczby zespolone zapisane w postaci wykładniczej.
Dwie niezerowe liczby zespolone są równe, gdy mają takie same moduły , a ich argumenty róznią się o wielokrotność \(\displaystyle{ 2 \pi}\)

Zatem rozwiązujesz układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} r^5=8r^2\\4\psi= \pi -2\psi+2k \pi \end{cases}}\)

Otrzymasz:

\(\displaystyle{ r=0 \ lub \ r = 2}\)

\(\displaystyle{ \psi=\frac{ \pi }{6}+\frac{ l\pi}{3} \ l=0,1,2,3,4}\)

Belf pisze:Widać,że liczba: \(\displaystyle{ z = 0}\) jest rozwiązaniem.



\(\displaystyle{ r^5e^{4i\psi}=8\cdot r^2e^{i( \pi -2\psi)}}\)

I rozwiązujesz układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} r^5=8r^2\\4\psi= \pi -2\psi+2k \pi \end{cases}}\)

To przejście wymaga choć drobnego uzasadnienia. Wszak z faktu, że \(\displaystyle{ 4\cot 10=8\cdot 5}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ 4=8}\) i \(\displaystyle{ 10=5}\)

a4karo pisze:Wsk: policz \(\displaystyle{ |z|}\) najpierw

A jaka jest dalsza Twoja propozycja ?

Podzilić równanie przez \(\displaystyle{ 2^5}\) i sprowadzić do równania na kółku (de facto to, co zrobiłeś, ale nie potrzebują uzasadniać układu równań )