Matematyka.pl

Mam problem ze znajdowaniem argumentu liczby zespolonej i potem podstawianiem do wzoru na pierwiastek, proszę o pomoc.
Mianowicie nasza liczba to \(\displaystyle{ z=3-4i}\) i chcemy policzyć z niej pierwiastek kwadratowy czyli prawie najprostszy.
Policzyć moduł umiem, wychodzi \(\displaystyle{ r=5}\) i potrzebny pierwiastek z modułu to \(\displaystyle{ r= \sqrt{5} }\).

Ale jaki to ma argument?? \(\displaystyle{ \phi = \arctg \frac{4}{3} }\) albo za pomocą arcusa cosinusa czy sinusa. No i ile to jest?
Do wzoru muszę podstawić \(\displaystyle{ \frac{\phi +2k\pi }{2}}\) i potem z tego liczyć sinus i cosinus... Jak?

Kąt nie ma sensownej postaci, ale pierwiastek można znaleźć rozwiązując układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)

Rozumując geometrycznie (na płaszczyźnie zespolonej) można pokazać, że dla \(\displaystyle{ z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{\leq 0}}\) mamy:

Przy czym to jest oczywiście jeden pierwiastek. Drugi jest z minusem.

Dasio11 pisze: 13 cze 2024, o 21:08 Kąt nie ma sensownej postaci, ale pierwiastek można znaleźć rozwiązując układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)

Czemu sądzisz, że \(\displaystyle{ -\frac12\arctg\frac43}\) nie jest sensowną postacią?

A umiesz w 4 przekształceniach max policzyć z tego cosinus?

wystarczy dopisać z przodu `\cos` i argument wziąć w nawias. Wyjdzie tak samo dobra liczba jak `1/2`, `\pi-2` czy `\xi(3)`

Początkowo myślałem że to żart, ale teraz zwątpiłem - czy Ty naprawdę uważasz, że odpowiedź postaci

\(\displaystyle{ \sqrt{5} \left( \cos \left( -\frac{1}{2} \arctg \frac{4}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{1}{2} \arctg \frac{4}{3} \right) \right)}\)

jest równie sensowna jak \(\displaystyle{ 2-i}\) ?

Tak, bo po pierwsze jest poprawna, a po drugie nie wymaga liczenia

W tym duchu najlepsza byłaby odpowiedź \(\displaystyle{ \pm \sqrt{3-4i}}\) (gdzie \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}}\) oznacza pierwiastek główny), bo nie wymaga w ogóle niczego oprócz zapisania wyniku i też jest poprawna.

W matematyce podstawową umiejętnością jest wyrażanie liczb, funkcji, zbiorów itp. zdefiniowanych w uwikłany sposób w możliwie najprostszej postaci. Oczywistością jest zatem, że również w tym zadaniu nie chodzi o znalezienie dowolnego wyrażenia, które podniesione do kwadratu da \(\displaystyle{ 3-4i}\) (bo wtedy wystarczyłoby tautologiczne \(\displaystyle{ \sqrt{3-4i}}\)), tylko właśnie najprostszego. Naprawdę dziwię się, jak matematyk może tego nie rozumieć.

Gdyby było `5` zamiast `4`, to twoje rozwiązanie byłoby też mało strawne, ale byś się narobił, a ja dalej byłbym ok. Uwagi z pierwiastkiem nie skomentuje, bo jest poniżej poziomu.

a4karo pisze: 17 cze 2024, o 16:20Gdyby było `5` zamiast `4`, to twoje rozwiązanie byłoby też mało strawne, ale byś się narobił, a ja dalej byłbym ok.

A co to ma do rzeczy? Moja teza brzmi: w tego typu zadaniach należy zawsze podawać wynik w możliwie prostej postaci. Nigdzie nie twierdziłem, że metoda z układem równań zawsze daje taką postać.

a4karo pisze: 17 cze 2024, o 16:20Uwagi z pierwiastkiem nie skomentuje, bo jest poniżej poziomu.

Cieszę się, że uznajesz propozycję odpowiedzi w postaci pierwiastka za niemądrą, ja również tak uważam. Z tym, że jest ona naturalną konsekwencją Twojej logiki, nie mojej.

Dasio11 pisze: 17 cze 2024, o 18:09

a4karo pisze: 17 cze 2024, o 16:20Gdyby było `5` zamiast `4`, to twoje rozwiązanie byłoby też mało strawne, ale byś się narobił, a ja dalej byłbym ok.

A co to ma do rzeczy? Moja teza brzmi: w tego typu zadaniach należy zawsze podawać wynik w możliwie prostej postaci. Nigdzie nie twierdziłem, że metoda z układem równań zawsze daje taką postać.

To rzeczywiście ma sens, ale tylko w świecie licealnym, gdzie kosinusy kątów przyjmują wyłącznie wartości za zbioru \(\displaystyle{ \{0,1/2,\sqrt2/2,\sqrt3/2,1\} }\) a wynik bardziej skomplikowany niż \(\displaystyle{ \frac{\sqrt2-1}{2}}\) sugeruje, że gdzieś popełniono błąd.

a4karo pisze: 17 cze 2024, o 16:20Uwagi z pierwiastkiem nie skomentuje, bo jest poniżej poziomu.

Cieszę się, że uznajesz propozycję odpowiedzi w postaci pierwiastka za niemądrą, ja również tak uważam. Z tym, że jest ona naturalną konsekwencją Twojej logiki, nie mojej.

O jakiej logice mówisz: student podający odpowiedź w postaci, którą ja sugeruję, pokazuje, że rozumie takie pojęcia jak argument liczby zespolonej i wie jaka jest geometryczna interpretacja podnoszenia do potęgi w dziedzinie zespolonej. A czego dowodzi używając Twojej metody? Umiejętności rozwiązywania równań dwukwadratowych co najwyżej.

Dasio11 pisze:Moja teza brzmi: w tego typu zadaniach należy zawsze podawać wynik w możliwie prostej postaci.

A ja bym ją sformułował inaczej: jeżeli podejrzewasz, że rozwiązanie ma prostszą postać i uważasz, że warto poświęcić czas na jej znalezienie, zrób to.

Moja wersja jest taka: wynik należy podawać w możliwie najbardziej użytecznej postaci. W tym akurat zadaniu użyteczność mojego wzoru jest dokładnie taka, jak Twojego

Może być jedna praktyczna różnica: żaden nauczyciel nie zakwestionuje Twojego rozwiązania, a pewnie znalazłoby się paru, którzy by mi postawili dwóję - mam nadzieję, że Ty nie . Może dobrze, że nie ma liczb zespolonych na maturze

Dodano po 19 minutach 36 sekundach:
I jeszcze taki żarcik: jeżeli wiemy, że rozwiązanie ma być proste, to na okręgu o promieniu `\sqrt5` jedyne punkty kratowe w czwartej ćwiartce to `2-i` i `1-2i`. Podstawiamy i ... Eureka

I o to mi chodziło, gdy pisałam coś w stylu, że forum powoli upada merytorycznie. a4karo widać że trollujesz, jeżeli zadanie jest "policzyć" to wiadomo, że chodzi o "policzyć do końca". To tak jakby chirurg zrobił połowę wymaganej operacji, bo przecież pacjent nie umarł. Jest różnica między sytuacjami typu stała Eulera-Mascheroniego, gdzie nie da się tego dokładnie wyliczyć, a sytuacjami gdzie to się da wyliczyć tylko nie widać rozwiązania na pierwszy rzut oka. I widać że postać z arcusami tangensa nie jest prosta tylko podatna na błędy przybliżeń.
Dzięki za obronę, ale nie rozumiem, dlaczego taki trolling jest w ogóle tolerowany. Niemerytoryczne posty a4karo powinny trafiać do kosza i tyle.


Jak dla mnie to można wątek zamknąć, bo już rozumiem, że jak wzór na pierwiastek nie działa to trzeba walczyć wzorami skróconego mnożenia.

Niepokonana pisze: 17 cze 2024, o 21:01 I o to mi chodziło, gdy pisałam coś w stylu, że forum powoli upada merytorycznie. a4karo widać że trollujesz, jeżeli zadanie jest "policzyć" to wiadomo, że chodzi o "policzyć do końca".

A możesz zdefiniować co to znaczy "do końca". Bo jak na przykład będziesz wyciągać pierwiastek z `3-5i` metodą Dasia, to dostaniesz
`\sqrt{\sqrt{17/2}+3/2}-i\sqrt{\sqrt{17/2}-3/2}`
a jak przy pomocy kąta, to
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{34}\left(\cos\left(\frac12\arctg \frac53\right)-i\sin\left(\frac12\arctg \frac53\right)\right)}\)

To są dokładnie te same liczby, tylko inaczej zapisane.

Jeżeli jesteś w stanie powiedzieć która z nich jest "do końca" to chapeax bas

To tak jakby chirurg zrobił połowę wymaganej operacji, bo przecież pacjent nie umarł. Jest różnica między sytuacjami typu stała Eulera-Mascheroniego, gdzie nie da się tego dokładnie wyliczyć, a sytuacjami gdzie to się da wyliczyć tylko nie widać rozwiązania na pierwszy rzut oka.

Ależ wartość stałej Eulera jest doskonale znana. Podobnie jak `\pi` czy `e`. I tylko bardzo naiwnym ludziom wydaje się, że wszystko za się zapisać jednolinijkowym wzorem w którym pierwiastek jest najdziwniejszym symbolem.

I widać że postać z arcusami tangensa nie jest prosta tylko podatna na błędy przybliżeń.

Obie postaci są dokładne i żadna nie jest podatna na błędy obliczeń. A jeżeli chcesz wyliczyć przybliżenia, to szereg arcusa tangensa jest szybciej zbieżny niż pierwiastka. Ktoś, kto skończył analizę II powinien to wiedzieć.

Dzięki za obronę, ale nie rozumiem, dlaczego taki trolling jest w ogóle tolerowany. Niemerytoryczne posty a4karo powinny trafiać do kosza i tyle.


Jak dla mnie to można wątek zamknąć, bo już rozumiem, że jak wzór na pierwiastek nie działa to trzeba walczyć wzorami skróconego mnożenia.

Wzór na pierwiastek działa zawsze, tyle że Ty go nie rozumiesz. I to tyle na temat merytoryczności.

Jak coś to ja se odpuszczę odpisywanie na jawny trolling, ale no szkoda że moje zgłoszenia są ignorowane. Gdyby taki sam trolling uprawiał użytkownik z 3 dniami doświadczenia na forum to Jan by się nie cackał.

Wartość nieprzybliżona \(\displaystyle{ 2-i}\) super szybko zbiega wręcz z nieskończoną szybkością i każdy po analizie dwójce powinien to wiedzieć.