Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A=(x,y)}\) będzie punktem w \(\displaystyle{ \RR^2}\). Obliczyć współrzędne punktu, który otrzymamy po obrocie punktu \(\displaystyle{ A}\) o kąt \(\displaystyle{ \pi/3}\) względem środka układu współrzędnych w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Moduł nowego punktu jest ten sam co punktu \(\displaystyle{ A}\), a kąt zwiększa się o \(\displaystyle{ \pi/3}\), zatem współrzędne nowego punktu są następujące:
\(\displaystyle{ (\sqrt{x^2+y^2}\cos (\arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\pi/3),\sqrt{x^2+y^2}\sin (\arcsin \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\pi/3))}\).

Dobrze?

Fuj.

Obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) względem środka układu to przekształcenie liniowe o macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}&\tfrac{1}{2}\end{bmatrix},}\) więc po obrocie dostajemy punkt o współrzędnych

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}&\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac{1}{2}x-\tfrac{\sqrt{3}}{2}y\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}x+\tfrac{1}{2}y.\end{bmatrix}}\)

Inna wersja (skoro z jakichś powodów dałeś to w dziale "Liczby zespolone"):

Obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) względem środka układu na płaszczyźnie zespolonej odpowiada mnożeniu przez liczbę \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2} +\tfrac{\sqrt{3}}{2}i}\), więc

\(\displaystyle{ (x+yi)\cdot\left( \tfrac{1}{2} +\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) =\left( \tfrac{1}{2}x-\tfrac{\sqrt{3}}{2}y\right)+\left( \tfrac{\sqrt{3}}{2}x+\tfrac{1}{2}y\right),}\)

czyli to samo, co poprzednio.

JK

Aha okej to trzeba znać tę macierz obrotu lub wiedzieć, że obrót to mnożenie przez liczbę o argumencie 60 stopni.

A to co tam napisałem wyżej, to formalnie się zgadza, czy coś namieszałem?

max123321 pisze: 21 sty 2025, o 00:09 Aha okej to trzeba znać tę macierz obrotu lub wiedzieć, że obrót to mnożenie przez liczbę o argumencie 60 stopni.

To zupełnie podstawowa wiedza.

JK