Matematyka.pl

kasia_1126 pisze:Oznaczamy spodek wysokości z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) jako \(\displaystyle{ A'}\) z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\) jako \(\displaystyle{ B'}\) i wierzchołek \(\displaystyle{ C}\)jako \(\displaystyle{ C'}\). trójkąty \(\displaystyle{ ACC'}\) i \(\displaystyle{ ABB'}\) są podobne, tak samo trójkąty \(\displaystyle{ A'AB}\) i \(\displaystyle{ C'CB}\) oraz trójkąty \(\displaystyle{ BB'C}\) i \(\displaystyle{ A'AC}\). następnie zauważamy, że na trójkątach \(\displaystyle{ CB'B}\) oraz \(\displaystyle{ CC'B}\) możemy opisać okręgi. Z tego wynika, że na czworokącie \(\displaystyle{ CB'C'B}\) możemy opisać okrąg. w ten sam sposób pokazujemy zależność dla czworokąta \(\displaystyle{ CA'C'A}\) Zauważamy, że kąty \(\displaystyle{ B'BA'}\) oraz \(\displaystyle{ B'C'C}\) są sobie równe oraz, że kąty \(\displaystyle{ CAA'}\) oraz \(\displaystyle{ CC'A'}\) są sobie równe. Jako że kąty \(\displaystyle{ CAA'}\) i \(\displaystyle{ CBB'}\) są sobie równe na mocy podobieństwa trójkątów to wysokość \(\displaystyle{ CC'}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ B'C'A'}\). w ten sam sposób udowadniamy pozostałe kąty.