Matematyka.pl

Treść zadania:

Pewnemu zespołowi kosiarzy polecono skosić dwie łąki; powierzchnia jednej z tych łąk była dwa razy większa od drugiej. Pół dnia cały zespół kosiarzy kosił większą łąkę; w drugiej połowie tego samego dnia zespół podzielił się na dwie równe grupy. Pierwsza grupa w dalszym ciągu kosiła większą łąkę i do końca dnia skosiła ją całkowicie. Druga grupa poszła kosić mniejszą łąkę, która kosiła do końca dnia, ale nie skosiła jej całkowicie. Reszta małej łąki została skoszona nazajutrz przez jednego kosiarza, któremu zajęło to cały dzień. Ilu kosiarzy liczył zespół?

możliwe rozwiązanie -nie moje - (\(\displaystyle{ n}\) liczba kosiarzy, \(\displaystyle{ d}\) dzien, \(\displaystyle{ x}\) pow. małej łąki):
Dla dużej łąki: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}d \cdot n + \frac{1}{2}d \cdot \frac{1}{2}n = 2x}\) //pół dnia cały zespół + pół dnia połowa zespołu
Dla małej łąki: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}d \cdot \frac{1}{2}n+d = x}\) //pół dnia połowa zespołu + jeden dzień jeden człowiek

moje podejście:
Ja chciałem przekształcić informację, że "duża łąka w jeden dzień została skoszona przez określoną liczbę osób" : \(\displaystyle{ (n+\frac{1}{2}n) \rightarrow 1}\) dzień \(\displaystyle{ \rightarrow 2x}\) tak, aby określić liczbę kosiarzy potrzebną do skoszenia połowy (małej łąki) w półtora dnia. Coś jak: \(\displaystyle{ n+\frac{1}{2}n=2x \Rightarrow x = \frac{n+\frac{1}{2}n}{2}}\)
następnie z proporcji wyznaczyć \(\displaystyle{ Z}\) czyli liczbę osób potrzebną do skoszenia \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ 1.5}\) dnia.
\(\displaystyle{ \frac{n+\frac{1}{2}}{2} - 1 d\\
Z - \frac{3}{2} d}\)
\(\displaystyle{ Z=\frac{(n+\frac{1}{2}) \cdot 3d}{4}}\)
a następnie \(\displaystyle{ Z}\) przyrównać do drugiej informacji, czyli tego, że druga łąka potrzebowała półtora dnia i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n + 1}\) kosiarzy:
\(\displaystyle{ Z = \frac{1}{2}n+1}\)

Podsumowanie mojego (błędnego) rozumowania:
Ogólnie, chciałem pierwszą informację przekształcić w taki sposób aby wyrażała liczbę osób potrzebną do skoszenia powierzchni \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ 1.5}\) dnia a potem przyrównać do informacji o małej łące. Oczywiście wszystko co moje jest złe, chciałbym tylko zapytać czy ktoś umiałby mi wytłumaczyć w którym miejscu robię błąd, albo dlaczego moim podejściem nie da się rozwiązać tego zadania.

Większa łąka jest dwa razy większa od małej łąki. Czyli całkowita powierzchnia łąk jest trzy razy większa od małej łąki. Na początku wszyscy kosiarze skosili \(\displaystyle{ 2/3}\) dużej łąki, czyli \(\displaystyle{ 4/9}\) całości [\(\displaystyle{ 2/3 ext{całości} cdot 2/3 = 4/9}\)]. Następnie podzielili się na dwie, równe grupy. Pierwsza grupa skosiła \(\displaystyle{ 1/3}\) dużej łąki, a druga grupa skosiła \(\displaystyle{ 2/3}\) małej łąki. Drugiego dnia jeden kosiarz skosił \(\displaystyle{ 1/3}\) małej łąki, to jest \(\displaystyle{ 1/9}\) całości.

\(\displaystyle{ 3x}\) powierzchnia obu łąk razem
\(\displaystyle{ y}\) powierzchnia tej części mniejszej łąki, która była koszona przez jednego kosiarza przez cały ostatni dzień.
\(\displaystyle{ \frac{y}{1d}}\) wydajność (prędkość) jednego kosiarza, przy czym \(\displaystyle{ 1d}\) oznacza jeden dzień.

\(\displaystyle{ 2n}\) liczba kosiarzy
Jeśli prędkość koszenia to powierzchnia koszenia przez czas koszenia, to przekształcając tę zależność otrzymujemy, że powierzchnia koszenia to iloczyn czasu koszenia i prędkości koszenia:)

Warto jeszcze zauważyć, że w pierwszej połowie pierwszego dnia skoszono 2/3 większej łąki i chociaż to trywialne spostrzeżenie, to jest bardzo ważne.
Zapiszmy zatem, co zaszło w ciągu tych 2 dni:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}2x + \frac{1}{3}2x + \left( x-y\right) +y = \frac{1}{2}d \cdot \frac{2ny}{1d}+ \frac{1}{2}d \cdot \frac{ny}{1d} + \frac{1}{2}d \cdot \frac{ny}{1d} + 1d \cdot \frac{y}{1d}}\)

\(\displaystyle{ 3x=2ny+y}\)
\(\displaystyle{ 3x=y\left( 2n+1\right) ^*}\)
I teraz najważniejsze: skoro w drugiej połowie pierwszego dnia zespół liczący \(\displaystyle{ n}\) kosiarzy skosił \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) większej łąki, to drugi zespół liczący \(\displaystyle{ n}\) kosiarzy skosił w tym samym czasie tyle samo, co oznacza, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}2x=x-y}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x}\)
Wykorzystajmy ten fakt w równaniu \(\displaystyle{ \left( *\right)}\)
\(\displaystyle{ 3x= \frac{1}{3}x\left( 2n+1\right)}\)
\(\displaystyle{ 8=2n}\)
Zespół liczył 8 kosiarzy:))))))