Matematyka.pl

Zagadka była w dziale Prawdopodobieństwo ale chyba ten dział lepiej do niej pasuje. Powalczcie z moją zagadką!:
Jest siedem krasnoludków i królewna przygotowała dla nich siedem czapeczek czerwonych i siedem białych. Krasnoludki i królewna bawią się w nastepującą zabawę:
Krasnoludki siadają w kole a królewna nakłada każdemu krasnoludkowi czapeczkę, tak, że prawdopodobieństwo, że dany krasnoludek ma czerwoną (białą) czapeczkę jest � . Każdy krasnoludek ma czapeczkę na głowie której nie widzi, natomiast widzi czapeczki pozostałych sześciu krasnoludków. Krasnoludki mają za zadanie ustalić taką taktykę przed zabawą, rzeby wstał jeden z krasnoludków i powiedział jaką ma czapeczkę na głowie. Krasnoludki w czasie zabawy nie mogą się ze sobą komunikować w ŻADEN sposób (poza tym, że widzą czapki pozostałych sześciu). Jeśli wstanie więcej niż jeden krasnoludek to krasnoludki przegrywają. Krasnoludek który wstanie ma jedną próbę, jeśli zgadnie-krasnoludki wygrywają, jeśli nie zgadnie-królewna wygrywa. Czy istnieje taka taktyka (a jesli tak to jaka) żeby zwiększyć prawdopodobieństwo wygranej przez krasnoludki powyżej � ? Podpowiem, że istnieje, ale dam się wszystkim z tym pobawić.

Hmm... Według mnie powinien wstać ten krasnoludek, który otrzymał czapeczkę na końcu, popatrzeć na pozostałą szóstkę i w zależności od tego, którego koloru czapeczek jest MNIEJ, ten kolor powinien powiedzieć.

Załóżmy, że z 6 pozostałych : 4 ma białe czapki, a 2 czerwone. Wtedy prawdopodobieństwo że ostatni krasnal otrzymał czerwoną czapkę jest większe, bo więcej zostało czerwonych czapek do rozdania...

Oczywiście zakładam, że królewna najpierw losowo układa czapki, a później je rozdaje...

niestety, jak napisałem, każdy krasnoludek ma prawdopodobieństwo � otrzymania czapki o danym kolorze które jest niezależne od tego jakie czapki mają inne krasnale. Nawet gdy krasnal zobaczy, że wszystkie inne mają czapki np. czerwone to on i tak ma tylko 50% na to że ma białą. Krasnale muszą przed zabawą ustalić jakąś taktykę. Na początku wydaje się to bez sensu ale jak się troche pomyśli...

[ Dodano: Pią Paź 28, 2005 11:41 pm ]
każdy krasnal ma jakby dwie czapki i królewna losuje dla każdego z nich którą z jego dwóch czapek, czerwoną czy białą, mu zaloży

[ Dodano: Czw Lis 03, 2005 7:56 pm ]
cóż, widzę że zagadka nie cieszy sie duzą popularnoscią. W związku z tym zamierzam niedługo (za dwa dni?) opublikować odpowiedz. Jeśli ktos nie chce bym ją napisał, bo np. chce jeszcze powalczyć z tą zagadką, niech napisze, że nie chce- wtedy poczekam. Przyznam, że sam nie wpadłem na rozwiązanie - kumpel mi je zdradził po długim czasie.

[ Dodano: Pon Lis 07, 2005 11:59 pm ]
ok, poniewarz nikt nie pali się do tej zagadki, podaje rozwiazanie.
.
.
.
.
.
.
.
.
Rozwiazanie (nie w pełni zoptymalizowane):
To rozwiązanie nie zwiększa szans krasnoludków do maximum poniewarz przewiduje umówienie się krasnoludków, że odpowiedają (zgłaszaja się) tylko trzy z nich: krasnoludek A, B i C. Istnieje rozwiązanie dla większej ilości krasnoludków, które jeszcze bardziej zwiększa szanse krasnoludków ale jest bardziej złożone.
Krasnoludki umawiaja się, że bedą zgłaszać się tylko 3 krasnoludki. Każdy z krasnoludków zgłasza się (wstaje) jesli widzi, że dwa pozostałe maja jednakowe czapki. Mówi wtedy, że ma czapkę przeciwnego koloru. Oczywiście to, że one mają czapki, powiedzmy czerwone, nie zwiększa jego szansy na białą czapkę ale... mozliwość zgłoszenia się mają trzy krasnale . Liczba wszystkich mozliwych rozkładów czapek wśród tych trzech krasnali to 8 bo są dwa rodzaje czapek. Stosując podaną taktyke krasnoludki wygrywają w 6 przypadkach na 8 czyli mają 75% szans na wygraną. przegrywają tylko w przypadkach gdy wszyscy trzej mają takie same czapki bo wstana wszyscy trzej. w pozostałych przypadkach wstaje zawsze jeden z nich i udziela prawidłowej odpowiedzi