Matematyka.pl

Witam

Mam problem z łamigłówką:

Dwóch złodziei skradło wartościowy naszyjnik z
czarnych i białych pereł. Liczby pereł białych
i czarnych są sobie równe. Perły są w naszyjniku
równomiernie rozmieszczone, jednakże nie są
ułożone kolorami na przemian ani też nawet
symetrycznie.
Podaj przekonujący argument, że nie ma znaczenia
jak wygląda naszyjnik, bo zawsze jest możliwe
takie jego przecięcie na dwie części, aby każda z
nich miała połowę białych i połowę czarnych
pereł.

Co oznacza, że perły są w naszyjniku równomiernie rozmieszczone

Pewnie chodzi o to, że kolejne są w równych odległościach od siebie, tj. pierwsza leży tak samo blisko drugiej jak druga trzeciej itd.

309084.htm#p4979470
Tu jest podobny problem.

Nie ma wymogu podziału na równe części.
Zawsze się znajdzie perła biała obok perły czarnej. Wystarczy odciąć takie dwie perły aby dokonać poprawnego podziału.

Chyba nie o to chodzi w treści tego zadania (bo ówczas byloby ono trywialne).

Zwrot: aby każda z nich miała połowę białych i połowę czarnych pereł.

należy według mnie rozumieć w ten sposób, że jeżeli naszyjnik ma po \(\displaystyle{ 2n}\) pereł każdego koloru, to po rozcięciu każda z części ma mieć \(\displaystyle{ n}\) pereł każdego koloru a nie, że jedna część ma mieć po \(\displaystyle{ k}\) pereł każdego koloru a druga część po \(\displaystyle{ 2n-k}\) pereł każdego koloru.

Ale w treści nie ma nic o parzystej liczbie pereł każdego koloru.
Jeśli jednak i to trzeba sobie dopowiedzieć, bo było by za łatwo, to jest to chyba to samo zadanie co w linku pyzola. O ile "równomiernie rozłożone", nie oznacza czegoś co ułatwia rozwiązanie.

Jeżeli przyjmiemy taką interpretację jak podałem to liczby pereł każdego koloru muszą być podzielne przez dwa, jeżeli będzie taka interpretacja, że kawałki naszyjnika mogą mieć różną liczbę pereł to zadanie jest trywialne.

-- 5 lis 2012, o 19:53 --

Jestem ciekawy jakie jest źródło tej zagadki, czyli gdzie jest oryginał, bo np. w innym miejscu w sieci znalazłem taką treść:

Dwóch złodziei skradło wartościowy naszyjnik z czarnych i białych pereł. Zarówno liczba pereł białych jak i czarnych jest parzysta. Perły są w naszyjniku równomiernie rozmieszczone, jednakże nie są ułożone kolorami na przemian ani też nawet symetrycznie. Podaj przekonujący argument, że nie ma znaczenia jak wygląda naszyjnik, bo zawsze jest możliwe takie jego przecięcie na dwie części, aby każda z nich miała połowę białych i połowę czarnych pereł.

Czyli tutaj nic nie ma o równej ilości pereł każdego koloru (podobnie jak w linku podanym przez pyzola) (?)

Moim zdaniem równomiernie rozłożone czyli perły są oddalone w równych odległościach od siebie-- 11 lis 2012, o 13:55 --Po przecięciu naszyjnika na dwie części (czy one będą równe czy nie!) Czyli:
pierwsza część ma liczyć 6 białych i 6 czarnych
druga część ma liczyć 6 białych i 6 czarnych

6 jest to liczba podstawiona w celu lepszego wytłumaczenia podziału

Chodzi o to czy ułożenie pereł na naszyjniku będzie miało wpływ na taki właśnie równy (wyżej pokazany) podział

Liczba pereł każdego koloru jest parzysta ponieważ musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\). Tym samy wszystkich pereł jest \(\displaystyle{ 4N}\). Układamy z naszyjnika \(\displaystyle{ 4N}\) kąt foremny w ten sposób, że perły znajdują się w jego wierzchołkach. Teraz rysujemy prostą "tnącą" przechodzącą przez środki dwóch przeciwległych boków, czyli po każdej stronie prostej mamy \(\displaystyle{ 2N}\) pereł. Możliwe są dwie sytuacje (interesują nas perły jednego koloru, powiedzmy białego, bo jeżeli pereł białych jest po tyle samo w każdej części, to pereł czarnych także).

I) Po każdej stronie jest \(\displaystyle{ N}\) pereł białych, czyli podział jest równomierny. Wówczas mamy szczęście i tniemy wzdłuż tej prostej.

II) Po jednej stronie (nazwijmy ją \(\displaystyle{ A}\), a przeciwną stronę nazwijmy \(\displaystyle{ B}\)) jest więcej pereł białych niż po drugiej. Ilość tych pereł po stronie \(\displaystyle{ A}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ M}\) , oczywiście \(\displaystyle{ M-N>0}\).

Teraz obracamy prostą tnącą o kąt \(\displaystyle{ \frac{360}{4N}}\) względem środka figury. W efekcie takiego obrotu liczba białych pereł po stronie \(\displaystyle{ A}\) może pozostać bez zmian, albo zwiększyć się o jedną, albo zmniejszyć się o jedną. Powtarzając taki obrót \(\displaystyle{ 2N}\) razy (w tym samym kierunku) mamy po stronie \(\displaystyle{ A}\) taką ilość białych pereł jaka była na początku po stronie \(\displaystyle{ B}\), czyli \(\displaystyle{ M-N<0}\).

Ponieważ podczas kolejnych obrotów liczba białych pereł po stronie \(\displaystyle{ A}\) może zmieniać się co najwyżej o \(\displaystyle{ 1}\) a po \(\displaystyle{ 2N}\)obrotach zmieniła się z wartości większej od \(\displaystyle{ N}\) do wartości mniejszej od \(\displaystyle{ N}\), to któryś z kolejnych obrotów musiał być taki, że \(\displaystyle{ M=N}\) i jest to podział spełniający warunki zadania.

Ten opis zrobiłem na podstawie linku podanego przez pyzola.