Matematyka.pl

Witam. Kiedyś około 20 lat temu Pan Michał Szurek (znany matematyk i autor pierwszej książki, która "zaraziła" mnie bakcylem matematyki pt. "Opowieści matematyczne") w Młodym Techniku (jeszcze wtedy, gdy miesięcznik ten był wydawany w formacie A5) zamieścił takie oto zadanie, które przytaczam tutaj ubarwiając je nieco.

Mamy cztery robaczki. Nazwijmy je: \(\displaystyle{ R1, R2, R3, R4}\). Mamy kwadrat o wierzchołkach kolejno : \(\displaystyle{ W1, W2, W3, W4}\) (np. kolejność przeciwna do ruchu wskazówek zegara).
Umieszczamy robaczki w wierzchołkach kwadratu:
robaczek \(\displaystyle{ R1}\) w wierzchołku \(\displaystyle{ W1}\),
robaczek \(\displaystyle{ R2}\) w wierzchołku \(\displaystyle{ W2}\),
robaczek \(\displaystyle{ R3}\) w wierzchołku \(\displaystyle{ W3}\),
robaczek \(\displaystyle{ R4}\) w wierzchołku \(\displaystyle{ W4}\).

Załóżmy teraz że:

robaczki w tej samej chwili (powiedzmy w chwili t = 0) zaczynają się gonić;
robaczek \(\displaystyle{ R1}\) goni robaczka \(\displaystyle{ R2}\),
robaczek \(\displaystyle{ R2}\) goni robaczka \(\displaystyle{ R3}\),
robaczek \(\displaystyle{ R3}\) goni robaczka \(\displaystyle{ R4}\)
... i wreszcie robaczek \(\displaystyle{ R4}\) goni robaczka \(\displaystyle{ R1}\);
robaczki gonią się z tą samą prędkością \(\displaystyle{ V}\)... do momentu aż się spotkają oczywiście (potem są już nieruchome bo się razem "skleją");
bok kwadratu (w wierzchołkach którego znajdują się robaczki) ma długość: \(\displaystyle{ a}\);
robaczki są punktowe (zaniedbywalnie małe w porównaniu z długością boku kwadratu)

Pytanie:
Jaką drogę przebędzie każdy z robaczków?
Z jaką prędkością kątową robaczki będą okrążały środek kwadratu, gdy będą się do niego zbliżały?

Ze względu na symetrię problemu, w każdym momencie znajdują się one na wierzchołkach jakiegoś kwadratu. Spróbowałbym wziąć dwa kolejne kwadraty, a następnie przeliczyć przemieszczenie się ich wierzchołków.

Takie zadania rozwiązuje się dość prosto w układzie biegunowym. Robaczki zakreślają spiralę.

Taką psią krzywą do do psiej krzywej ?

Dokładniej robaczki zakreślają spiralę logarytmiczną. Jeśli użyć rachunek różniczkowo-całkowy to zadanie jest wręcz nudne bo na pół strony A4 plus jakiś rysunek pomocniczy... razem jedna strona.

Wg mnie szczególny urok tego zadania polega na tym, że można się obejść bez równań różniczkowych:-)
Fantastyczne zadanie na urozmaicenie NUDNYCH lekcji matematyki w szkołach.