Matematyka.pl

Tak sobie myślę,że każda liczba naturalna składa się z iloczynu liczb pierwszych.A co z jedynką?Ona nie jest liczbą pierwszą.Albo co z 7 = 1 x 7 w której iloczynie występuję liczba niepierwsza.Kto pomoże rozwiązać zagadkę?

1 nie jest liczbą pierwszą ani "niepierwsza" - złożoną. Jest tak jakby neutralna A to prawda jest ze kazda liczba naturalna sklada sie z iloczynu liczb pierwszych? 6*2=12 ?

MatizMac pisze:A to prawda jest ze kazda liczba naturalna sklada sie z iloczynu liczb pierwszych? 6*2=12 ?

Tak, prawda. \(\displaystyle{ 12=2\cdot 2\cdot 3}\).

no tak, no to w takim razie co z ta jedynka ktora liczba pierwsza nie jest? 7=7*1 inaczej tego zapisac sie nie da juz chyba xD

Tak poza tym to to forum bardzo fajne jest, ilu ja sie rzeczy dowiaduje nowych

Właśnie co z tą jedynką ?

Podział na liczby pierwsze i złożone rozpoczyna się od dwójki. Jedynka nie jest ani pierwsza, ani złożona.

Obawiam się że przy rozkładzie na czynniki pierwsze np. 15=3x5 nie uwzględnia się 1,czyli nie piszemy 15=3x5x1 - to jest fakt,więc może to pociąga za sobą że nie piszemy 7=7x1 tylko 7 już jest tą najmniejszą liczbą pierwszą składającą się na 7.Ale wciąż pozostaje problem 1,która jest liczbą naturalną i nie składa się z iloczynu liczb pierwszych.

[ Dodano: 3 Listopada 2007, 16:13 ]
Sylwek ale 1 jest naturalną liczbą o czym mówi 1 aksjomat ujęcia liczb naturalnych.Trzeba uścislić definicję.

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma tylko dwa dzielniki naturalne – jedynkę i samą siebie.

Liczbę naturalną, większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną.

Uwaga 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.

To cytat z Wikipedii. Jak chcesz wymyślać nową aksjomatykę - to droga wolna

Oj nie,chodzi mi o drugą def. że każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszyh.Co z 1 ?

Znalazłem,że każdą liczbę naturalną >1 można przestawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.Teraz się zgadza.

Z jedynką to jest tak, że w przypadku mnożenia określonego w zbiorze liczb rzeczywistych jest ona elementem neutralnym, to znaczy:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R} x\cdot 1 = 1\cdot x = x}\)

Zatem dopisywanie dowolnej ilości jedynek NIC nie zmienia. Wynika stąd prosta implikacja: jedynka nie jest czynnikiem pierwszym w rozkładzie dowolnej liczby naturalnej na czynniki ponieważ ten rozkład jest jednoznaczny - stąd aksjomatyka liczb pierwszych wygląda tak, a nie inaczej.

Pozdrawiam

tail pisze: Znalazłem,że każdą liczbę naturalną >1 można przestawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.Teraz się zgadza.

Nie bardzo, liczbami naturalnymi większymi od 1 są np 2, 3, 5... Nie przedstawisz ich za pomocą iloczynu liczb pierwszych... Żadnej liczby pierwszej nie przedstawisz za pomocą iloczynu liczb pierwszych bo z założenia liczba pierwsza ma tylko 2 dzielniki: liczbę pierwszą (samą siebie) i 1 (liczbę niepierwszą)...

Jeśli już definicja powinna brzmieć: "Każdą złożoną liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych."

Twierdzenie właściwie brzmi tak:
"Każda liczba naturalna (różna od \(\displaystyle{ 0}\)) ma jednoznaczny rozkład na czynniki pierwsze"

Przez rozkład liczby \(\displaystyle{ n}\), rozumiemy układ \(\displaystyle{ ( \alpha _1 , \alpha _2, ..., \alpha_k, ...)}\), taki, że
\(\displaystyle{ n= \prod_{i=1}^{ \infty }p_i^{\alpha_i}}\), gdzie
\(\displaystyle{ p_1, p_2, ...}\) są kolejnymi liczbami pierwszymi. (Czyli \(\displaystyle{ p_1=2, p_2=3, p_3=5...}\)
a
\(\displaystyle{ \alpha _1 , \alpha _2, ..., \alpha_k, ... \in \mathbb{Z}_{ \ge 0}}\)

Przyjmę oznaczenie, że \(\displaystyle{ ( \alpha _1 , \alpha _2, ..., \alpha_k, ...)=\prod_{i=1}^{ \infty }p_i^{\alpha_i}}\). Przyporządkowanie takiemu ciągowi liczby jest możliwe, gdy jest tylko skończenie wiele niezerowych elementów ciągu. Ciąg \(\displaystyle{ (1,1,1,1,1...)}\) nie odpowiada żadnej liczbie - bo czym jest liczba \(\displaystyle{ 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot...}\)

Wróćmy do tematu

tail pisze:Właśnie co z tą jedynką ?

Jedynka ma jednoznaczny rozkład. Mianowicie \(\displaystyle{ 1=(0,0,0,0...)}\)

ZaxHunter pisze:Nie bardzo, liczbami naturalnymi większymi od 1 są np 2, 3, 5... Nie przedstawisz ich za pomocą iloczynu liczb pierwszych...

Otóż \(\displaystyle{ 2=(1,0,0,...)}\), \(\displaystyle{ 3=(0,1,0,0,0...)}\), \(\displaystyle{ 5=(0,0,1,0,0,0...)}\), także na tych liczbach twierdzenie się nie wywala.