Równia Lagrange’a
-
diabollo
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 30 sie 2009, o 12:55
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Równia Lagrange’a
Dwie masy \(\displaystyle{ m_{1}}\) i \(\displaystyle{ m_{2}}\) są połączone sprężyną o współczynniku sprężystości k. Mogą one poruszać się po obwodzie poziomego okręgu. Rozwiązać równia Lagrange’a.
-
Chromosom
- Moderator
- Posty: 10356
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1272 razy
Równia Lagrange’a
Brakuje promienia okręgu - przyjmijmy R. Niech współrzędnymi uogólnionymi będą kąty \(\displaystyle{ \phi_1,\phi_2}\), które utworzone są przez proste łączące masy ze środkiem okręgu. Lagranżjan przyjmie następującą postać:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left(\phi_1,\phi_2,\dot{\phi_1},\dot{\phi_2}\right)=\frac{1}{2}m_1R^2\dot{\phi_1}^2+\frac{1}{2}m_2R^2\dot{\phi_2}^2-\frac{k}{2}\left(2R\sin\left(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\right)-l_0\right)^2}\)
Energię potencjalną uzyskaliśmy stąd, że długość całkowita sprężyny zależy od obu kątów i jest równa długości cięciwy okręgu łączącej masy, natomiast wydłużenie jest równe różnicy długości tej sprężyny i długości swobodnej. Niestety uzyskane równania będą dosyć złożone, w celu ich rozwiązania spróbuj posłużyć się jakimś przybliżeniem (np. dla sinusa kątów).
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left(\phi_1,\phi_2,\dot{\phi_1},\dot{\phi_2}\right)=\frac{1}{2}m_1R^2\dot{\phi_1}^2+\frac{1}{2}m_2R^2\dot{\phi_2}^2-\frac{k}{2}\left(2R\sin\left(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\right)-l_0\right)^2}\)
Energię potencjalną uzyskaliśmy stąd, że długość całkowita sprężyny zależy od obu kątów i jest równa długości cięciwy okręgu łączącej masy, natomiast wydłużenie jest równe różnicy długości tej sprężyny i długości swobodnej. Niestety uzyskane równania będą dosyć złożone, w celu ich rozwiązania spróbuj posłużyć się jakimś przybliżeniem (np. dla sinusa kątów).