Matematyka.pl

Witam. Potrzebuję pomocy z następującym zadaniem.
Walec o promieniu \(\displaystyle{ 2r}\) i masie \(\displaystyle{ 2m}\) porusza się bez poślizgu po poziomym płaskowniku o masie \(\displaystyle{ m}\) . Do osi walca zamocowano przegubowo pręt o masie \(\displaystyle{ m}\) i długości \(\displaystyle{ l}\) . Do górnego końca tego pręta zamocowane są sprzężny o sztywności \(\displaystyle{ k}\) , które są zawsze poziomo. Do lewego końca płaskownika przyłączona jest sprężyna o sztywności \(\displaystyle{ 2k}\), a do prawego przyłożona jest siła \(\displaystyle{ F}\) . Płaskownik porusza się po płaszczyźnie poziomej bez tarcia. Ruch odbywa się w polu grawitacyjnym o przyspieszeniu \(\displaystyle{ g}\) .

Napisać równania ruchu. Ile ten układ ma stopni swobody i jak przyjąć współrzędne uogólnione? Pierwotnie przyjąłem dwa stopnie swobody, współrzędne \(\displaystyle{ x_1}\) w płaskowniku i \(\displaystyle{ x_2}\) w walcu. Jakie ruchem porusza się pręt? Obrotowy i postępowy? Proszę o pomoc.

Zauważamy, że:
1. Brak poślizgu między płytą a krążkiem wywołuję siłę styczną wywołującą moment względem osi krążka niezbędny do pokonywania jego bezwładności w ruchu obrotowym z prędkością obwodową równą prędkości postępowej płyty.
2. Zawsze poziomy kierunek osi górnych sprężyn oznacza, że drążek podparty w osi krążka podtrzymywany jest siłami sprężyn górnych równoważących moment siły ciężkości drążka względem podpory w osi krążka. Te siły z siłą bezwładności z przyśpieszeniem drążka i krążka w ruchu postępowym i siła styczna (krążek/płyta) działająca na krążek, są siłami działającymi wzdłuż osi na górne sprężyny.
3. Siła \(\displaystyle{ F}\) działająca na płytę której równoważy opór stawiany przez siłę bezwładności płyty, siłę styczną i siłę sprężyny .
4. Można zauważyć, że przemieszczenia i ruch krążka oraz pręta można wyrazić jako znane funkcje przemieszczenia płyty, stąd jedną (tylko) współrzędną uogólnioną będzie przemieszczenie płyty.
5. Energia potencjalna całego układu równa jest energii potencjalnej odkształconych (na ich przemieszczeniach) górnych i dolnej sprężyn.

Dziękuję za odpowiedź, ale muszę jeszcze dopytać o poprawność równań.

En. kinetyczna płaskownika:
\(\displaystyle{ Ek_{1} = \frac{1}{2}*m*\dot{x _{1}}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1}}\) - współrzędna ugólniona
En. kinetyczna pręta:
\(\displaystyle{ Ek_{2} =\frac{1}{2}mv _{p}+ \frac{1}{2}I\omega^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ \omega=\dot{ \alpha }}\) - kąt pręta
En.kinetyczna walca:
\(\displaystyle{ Ek_{3} =\frac{1}{2}mv _{w}+ \frac{1}{2}I \omega^{2}_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ \omega _{w}= \frac{\dot{x_{1}}}{2r}}}\), \(\displaystyle{ v_{w}=\dot{x_{1}}}\)
Nie bardzo wiem jak zapisać w równaniu punkt 3, 4 i 5. Gdzie powinien narysować współrzędną uogólnioną x? Na krańcu płaskownika czy w jego środku ciężkości? Jak powinien wyrazić ruch pręta, oraz przemieszczenia za pomocą przemieszczenia płaskownika? Nie mogę zauważyć tych zależności wynikających z przemieszczenia płyty.

Przyjąłem taki układ współrzędnych i współrzędną uogólnioną. Czy tak jest poprawnie?

Energia kinetyczna jest "kwadratową" funkcją prędkości ruchu postępowego.
\(\displaystyle{ E_k = \frac{1}{2} m \cdot v^2= \frac{1}{2} m \dot x^2}\)
Podobnie w ruchu obrotowym :
\(\displaystyle{ E_k= \frac{1}{2}I_o \cdot \dot\varphi^2}\)
Układ współrzędnych korzystniej przyjąć względem nieruchomej podłogi z początkiem w narożniku gdzie jest sprężyna \(\displaystyle{ 2k.}\)