Matematyka.pl

Dzień dobry,
Mimo moich chęci albo braków w wiedzy pojawił się pewien problem, którego nie potrafię rozwiązać.

Przykład numer jeden


\(\displaystyle{ \sum_{}^{} M_{a} =0 : -q \cdot L \cdot \frac{L}{2} + R \cdot \cos \alpha = 0}\)

Przykład numer dwa

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} M_{a} =0 :M_{aU} - q \cdot a \cdot \frac{a}{2} + M - Q \cdot \sin \alpha =0}\)

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} X =0: R _{ax} + Q \cdot \sin \alpha = 0}\)

Elementy, których nie rozumiem:
-Dlaczego w jednym przykładzie w momencie jest brany pod uwagę sinus, a w kolejnym cosinus? Jest jakaś zależność, która pomoże mi to zrozumieć?

-W drugim przykładzie w równaniu równowagi\(\displaystyle{ \sum_{}^{} X}\) występuje \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) Myślałam, że zawsze na oś x rzutuje się cosinus i do tej pory na wszystkie belki, które do tej pory rozwiązałam działało. Skąd tutaj ta zmiana?

Bardzo dziękuję za odpowiedzi

Te równania są niepoprawne. proszę zauważyć, że ostatnie, prawe skrajne składniki w równaniach momentów maja wyiar siły a pozostale momentu.
To, czy używamy funkcji sinus czy kosinus, zależy od tego, który kąt mamy zmierzony, podany.
Owszem istnieje taka zassada, że jeżeli kąty jakie tworzą wektory odmierzane są od dotatniego zwrotu osi argumentów przeciwzegarowo, to równania sum rzutów na osie ma postać:
Rzuty na oś (0,y)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{i=n} P_i_y = P_1 \cdot sin \alpha + P_2 \cdot sin \beta + ...+ P_n \cdot sin \eta}\)

Podobnie, rzuty na oś (0,x)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{i=n} P_i_x = P_1 \cdot cos \alpha + P_2 \cdot cos \beta + ...+ P_n \cdot cos \eta}\)

.............................................
Do wypisania warunków równowagi dla danego układu sił, niezbędne jest zrozumienie pojęcia rzutu siły na oś
...............................................
1.Rzut siły na oś ( \(\displaystyle{ F _{x}}\))
Dana jest siła(wektor!) \(\displaystyle{ F}\) i oś np. \(\displaystyle{ x}\) oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) zawarty między kierunkiem siły , a osią. Szukamy rzutu siły \(\displaystyle{ F}\) na oś x, oznaczonego \(\displaystyle{ F _{x}}\).
Rys. Prowadzimy przez początek i koniec siły proste prostopadłe do osi - otrzymując rzut siły na oś.
Wartość rzutu siły obl. z trójkąta prostokątnego:
\(\displaystyle{ F _{x}=+F \cdot \cos \alpha}\), (1)
/Znak rzutu siły dodatni bo zwrot rzutu zgodny ze zwrotem osi/
Warto zapamiętać: kierunek siły tworzył z osią kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
2.Rzut siły na dwie osie prostokątnego układu współrzędnych
Rzut siły na oś x:
Kierunek siły tworzy z osią x kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), stąd na podstawie def. otrzymujemy:
\(\displaystyle{ F _{x}=+F \cdot \cos \alpha}\)
Rzut siły na oś \(\displaystyle{ y}\)
Zauważmy, że kierunek siły \(\displaystyle{ F}\) tworzy z osią \(\displaystyle{ y}\) kąt: \(\displaystyle{ 90 ^{\circ}- \alpha}\)
Z def. rzutu siły na oś otrzymujemy zależność:
\(\displaystyle{ F _ {y}=+F \cdot \cos(90 ^{\circ} - \alpha )=+F \cdot \sin \alpha}\)
/Znak rzutu siły na oś \(\displaystyle{ y}\) dodatni, bo zwrot rzutu zgodny ze zwrotem osi \(\displaystyle{ y}\)/
Możemy uogólnić:
Jeżeli siła tworzy z osią \(\displaystyle{ x}\) kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) to występuje we wzorze rzutu siły na tą oś funkcja \(\displaystyle{ \cos \alpha}\), zaś licząc rzut siły na oś y wpisujemy we wzorze na rzut siły funkcję sin \(\displaystyle{ \alpha}\)-kofunkcję cosinusa.
.....................................................
Przykłady wyznaczania rzutu siły na oś wg załączonego rysunku:
\(\displaystyle{ R _{x}=-R \cdot \cos\gamma}\)
/Znak rzutu ujemny, bo zwrot rzutu siły niezgodny ze zwrotem osi/
\(\displaystyle{ R _{y}=+R \cdot \sin\gamma}\)
/Siła nie tworzyła z osią kąta \(\displaystyle{ \gamma!/}\)
..........................................
\(\displaystyle{ S _{x}=+S \cdot \sin \phi}\)
\(\displaystyle{ S _{y}=-S \cdot \cos\phi}\)
/Siła tworzyła kąt \(\displaystyle{ \phi}\) z osią \(\displaystyle{ y!}\)
\(\displaystyle{ T _{x}=...}\)
\(\displaystyle{ T _{y}=...}\)
...........................................................
Do podanych przez Pana przykładów, poprawne równania przyjmą postać:
\(\displaystyle{ \Sigma M=- \frac{q \cdot l ^{2} }{2}+R \cdot \cos \alpha \cdot l=0}\)
.......................
\(\displaystyle{ \Sigma M=M _{u}- \frac{q \cdot a ^{2} }{2} +M-Q \cdot \cos \alpha \cdot 3a=0}\)
\(\displaystyle{ \Sigma F _{x}=R _{Ax}+Q \cdot \sin \alpha =0}\)