Matematyka.pl

Witam.
Mam taki problem z liczeniem momentów bezwładności. Dla przykładu takie zadanie:

Treść zadania:
Wyznacz moment bezwładności \(\displaystyle{ J_y}\)

Liczymy pole figury:
\(\displaystyle{ A=2a \cdot 3a=6a^2}\)

Współrzędne środka masy:
\(\displaystyle{ y=3a; \ \ \ \ \ z= \frac{5}{2}a}\)

Korzystamy z Tw. Steinera:
\(\displaystyle{ J_y=J_{x_c}+A(z_c^2)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ J_{x_c}=\frac{bh^3}{12}= \frac{2a\cdot (3a^3)}{12}=\frac{9}{2}a^4}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ J_y=\frac{9}{2}a^4+6a^2( \frac{5}{2}a)^2=42a^4}\)

Jeśli treść zadania będzie wyznaczyć moment bezwładności dla centralnych osi \(\displaystyle{ J_{y_c}}\) oraz
\(\displaystyle{ J_{z_c}}\) korzystam wtedy z?

\(\displaystyle{ J_{y_c}=J_y-A(z_c)^2}\)

\(\displaystyle{ J_{z_c}=J_z-A(y_c)^2}\)

Z poprzednim zadaniem sobie poradził mam pytanie odnośnie tego zadania.
Obliczyć moment bezwładności


Korzystamy z odwrotności Twierdzenia Steinera:
\(\displaystyle{ I_{x_c}=I_x-A\cdot (y_c)^2}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ I_x= \frac{a^4}{3}+2\cdot \frac{a\cdot (2a)^3}{12}=\frac{5}{3}a^4}\)

\(\displaystyle{ A=3a^2}\)

\(\displaystyle{ y_c= \frac{a^2\cdot \frac{3}{2}a+(a^2\cdot \frac{2}{3}a)\cdot 2}{3a^2}=\frac{7}{18}a}\)

Podstawiamy:

\(\displaystyle{ I_{x_c}=\frac{5}{3}a^4-3a^2\cdot (\frac{7}{18}a)^2= \frac{131}{108}a^4}\)

Wynik wychodzi zły. Gdzie popełniam błąd ?

\(\displaystyle{ A=3a^2}\)

\(\displaystyle{ y_c= \frac{a^2\cdot \frac{3}{2}a+(a^2\cdot \frac{2}{3}a)\cdot 2}{3a^2}=\frac{7}{18}a}\)

obliczone poprawnie. Stąd wyprowadzamy wniosek: \(\displaystyle{ I_x}\) jest źle obliczone.
Wypada pokazać kolejne zabiegi czynione na nim, bo tu tkwi błąd; a wymuszać na podpowiadaczu ćwiczenia rachunkowe to już przewrotność.
Obaj popełniliśmy ten sam błąd, który natychmiaist zauważył pan siwymech. dziękuję mu za to.
W.Kr.

Kwadrat jak i dwa trójkąty przechodzą przez oś X więc stosujemy wzór

Dla kwadratu: \(\displaystyle{ I_{x_1}=\frac{bh^3}{3}= \frac{a\cdot a^3}{3}= \frac{a^4}{3}}\)

Dla trójkąta 1: \(\displaystyle{ I_{x_2}=\frac{bh^3}{12}= \frac{a\cdot (2a)^3}{12}= \frac{8a^4}{12}= \frac{2}{3}a^4}\)


Dla trójkąta 2: \(\displaystyle{ I_{x_3}=\frac{bh^3}{12}= \frac{a\cdot (2a)^3}{12}= \frac{8a^4}{12}= \frac{2}{3}a^4}\)

Zatem \(\displaystyle{ I_x=I_{x_1}+I_{x_2}+I_{x_3}= \frac{1}{3}a^4+\frac{2}{3}a^4+\frac{2}{3}a^4=\frac{5}{3}a^4}\)

Proszę sprawdzić rzędną środka ciężkości całej figury.
/Wziął Pan odciętą kwadratu, zamiast rzędną ( 0,5a) do obl. położ środka cieżkości tego elementarnego pola./

\(\displaystyle{ y_c= \frac{a^2\cdot \frac{1}{2}a+(a^2\cdot \frac{2}{3}a)\cdot 2}{3a^2}=\frac{11}{18}a}\)

Teraz po podstawieniu :
\(\displaystyle{ I_{x_c}=\frac{5}{3}a^4-3a^2\cdot (\frac{11}{18}a^2= \frac{59}{108}a^4}\)

Teraz jest dobrze

Witam liczę moment bezwładności takiej figury na dwa sposoby i wyniki wychodzą inne. Gdzie popełniam błąd? Dziękuje

Sposób 1

\(\displaystyle{ I_x=\frac{30\cdot 60^3}{12}-\frac{20\cdot 40^3}{12}=\frac{1300000}{3}}\)

Sposób 2

\(\displaystyle{ I_x=\frac{10\cdot 40^3}{12}+\frac{30\cdot 20^3}{12}=\frac{220000}{3}}\)

Sposób II - cała figura niesymetryczna.
Znaleźć środek ciężkości całej figury i zastosować tw. Steinera.

Czyli sposób pierwszy możemy stosować wtedy gdy figura dotyka osi X?-- 22 lis 2016, o 16:28 --Wtedy
\(\displaystyle{ A=10000\ cm^2}\)
\(\displaystyle{ y_c=38\ cm}\)
\(\displaystyle{ I_x=\frac{1300000}{3}}\)
I z Tw. Steinera
\(\displaystyle{ I_{x_c}=I_x-A\cdot (y_c)^2=\frac{1300000}{3}-10000\cdot 38^2<0}\)

Wg wzoru tablicowego:
\(\displaystyle{ I_x= \frac{bh^3}{12}}\)
obliczamy moment bezwładności prostokąta o szerokości \(\displaystyle{ b}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) względem osi \(\displaystyle{ x}\) równoległej do boku \(\displaystyle{ b}\) i przechodzącej przez środek ciężkości geometrycznej jego powierzchni.
Jeżeli oś względem której mamy obliczyć moment bezwładności tego prostokąta (i każdej innej figury) jest inna iż ta ma zastosowanie tw. Steinera o momentach bezwładności względem osi równoległych i odległych od siebie o \(\displaystyle{ a}\).

1.Dzielimy figurę na dwie elementarne figury: 1 i 2.,
2. Zaznaczamy środki ciężkości elementarnych figur,
3. Rysujemy osie przechodzące przez środki ciężkości tych figur: \(\displaystyle{ x _{c1}, y _{c1}...}\)
.....................
Szukamy współrzędnych środka ciężkości całej figury, w tym celu:
4. Przyjmujemy bazowy układ współrzędnych- pomocny do obl. współrzędnych środka ciężkości całej figury tak, jak na Pana rys.
5. Obl. współrz. środka ciężkości całej figury \(\displaystyle{ C({x _{o}, y _{o})}\)
6. Rysujemy osie środkowe przechodzące przez p.C
7. Zauważamy równoległość i przesunięcie między osiami : osiami środkowymi, a osiami przechodzącymi przez środek ciężkości elementarnych figur
8.Obliczamy przesunięcia miedzy osiami- \(\displaystyle{ y _{1}, y _{2}}\) i pola figur - \(\displaystyle{ A _{1}, A _{2}}\)
9. Stosujemy tw.Steinera
\(\displaystyle{ I_{xo1}=I_ {xc1}+A _{1} ^{2} \cdot y _{1} ^2}\)
\(\displaystyle{ I_{xo2}=I_ {xc2}+A ^{2} \cdot y _{2} ^2}\)
\(\displaystyle{ J _{xo1}}\)- moment bezwładności figury 1 wzgl. osi środkowej \(\displaystyle{ x _{o}}\) całej figury
\(\displaystyle{ J _{xc1}}\)-moment bezwładności pierwszej (1)figury wzgl. osi przechodzącej przez środek ciężkości pierwszej(1) figury
Moment bezwładności całej figury
\(\displaystyle{ J _{xo}=J _{x1o}+J _{x2o}}\)