Matematyka.pl

Dane są trzy odcinki o długości odpowiednio \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\). Skonstruować taki trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), aby \(\displaystyle{ AB = c}\), \(\displaystyle{ AC = b}\) oraz by długość dwusiecznej \(\displaystyle{ AD}\) była równa \(\displaystyle{ d}\).

Pewnie można łatwiej, ale z braku czegokolwiek lepszy taki suchar.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}bd\sin \frac{ \alpha }{2}+ \frac{1}{2}cd\sin \frac{ \alpha }{2}\\
2bc\cos \frac{ \alpha }{2}=d(b+c)\\
\cos \frac{ \alpha }{2}= \frac{d(bc)}{2bc}}\)
Z tw. kosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha \\
a^2=b^2+c^2-2bc(2\cos^2 \frac{ \alpha }{2}-1)\\
a^2=b^2+c^2-2bc(2 \frac{d^2(b+c)^2}{4b^2c^2}-1)\\
a^2=b^2+c^2- \frac{d^2(b+c)^2}{bc}+2bc\\
a^2=(b+c)^2-\frac{d^2(b+c)^2}{bc}\\
a^2=\frac{(b+c)^2(bc-d^2)}{bc} \\
a= \frac{(b+c)x}{y} \wedge x^2=bc-d^2 \wedge y^2=bc}\)
Konstrukcja:
1. Konstruujesz \(\displaystyle{ y}\)
b to odcinek czerwony, c zielony . Szukasz środka sumy tych boków, zataczasz łuk i dostajesz y (niebieski) . 2. Konstruujesz \(\displaystyle{ x}\) z zależności miedzy bokami w trójkącie prostokątnym x,y,d:
\(\displaystyle{ x^2+d^2=y^2}\)
3. Konstruujesz \(\displaystyle{ a}\) z twierdzenia Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c}= \frac{x}{y}}\)
4. Konstruujesz trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\)


EDIT:
Wprowadzone oznaczenia:
\(\displaystyle{ \left| BC\right|=a\\
\angle BAC= \alpha}\)
Konstrukcje 2), 3), 4) to standardowe konstrukcje z podstawówki (miałem je w klasie VI). Są zbyt łatwe aby je pokazywać.
Konstrukcja 1) powinna być znana z liceum.

Czasami warto dokończyć rysunek i napisać oznaczenia.