Matematyka.pl

Udowodnić prawdziwość tezy : jeżeli przez punkt M środka prostej A B
poprowadzimy prostą "k" nachyloną pod katem 30 st.
to każdy dowolny punkt N na tej prostej , dzieli kąt A N B w stosunku 1/6
{ 1/6 + 5/6 =6/6=1 }
Oraz uzasadnić że w otrzymanym trójkącie zachodzi zależność : kąt B = 5* kąt A
a) dowód analityczny ,
b) dowód geometryczny ( w oparciu o twierdzenie Paskala .)

Tadeusz W.

Dzięki : To jest bardzo oczywiste ;
Małe sprostowanie :
Jeżeli przez środek dowolnego odcinka A B
- środek tego odcinka ? określono punktem M ?
Przez ten punkt M prowadzimy prostą "K" nachyloną pod katem 30 st.
Jeżeli na prostej "K" obierzemy dowolny punkt N
to otrzymamy trójkąt A N B o podstawie A B , o kącie A N B (tu kąt ostry)
prosta K przechodząca przez punkt M i wierzchołek N w tym trójkącie A N B
dzieli } kąt A N B w stosunku 1:6 ????? ( kąt A N M + kąt M N B = kąt. A N B)
tzn. że kat A N M = 1/6 kąta A N B , a kąt M N B = 5/6 kata A N B
I odwrotnie : jeżeli wyznaczymy zbiór kątów o zależności że kąt N A B =15 kąta N B A
to otrzymamy prostą " nachylona pod katem 30 st .
To należy uzasadnić lub udowodnić , lub obalić ta tezę .

T.W.

Obalam.(Nawet nie biorę tego pod uwagę, że N nie może być dowolny).

Weź (dla ułatwienia) taki przypadek gdzie kąt ABN będzie prosty. Przyjmij konkretną długość AB i wyznacz np pole trójkąta AMN - mamy podstawę AM i wysokość (dokładne), potem sinus kąta o jaki Ci chodzi (raz z pola, raz z tego jaki jest wg Ciebie). Nie wyjdą jednakowe.

Poza tym byłby to sposób na wyznaczanie sinusów dowolnych kątów - a takiego nie mamy.

Do : piasek 101
1) dla przypadku kąta A B N =90 st
otrzymamy kąt M N B = 60 st a kąt M N A =12 st
bo 90 st .* 1 /5 =18 st. (150+18 =168 180-168 =12 st.)
oraz 30 st + 90 st =120 st. 180-120 =60 st
w trójkącie A N B kąt A N B = 72 st . ( to suma kąt A N B i kąta M N B)
( lub 18+90 =108 180-108 =72 st.)
1/6 z kata 72 st = 12 st. 5/6 z kata 72. st =60 st. { 1/6 +5/6 =1}
tu prosta k podzieliła kat A N B w stosunku 1/6

2) na tym samym rysunku rozpatrzmy przypadek :
- z punktu b wykreślamy prostopadła do prostej "K "
- przecina ona prosta "K" w punkcie Nx
otrzymamy trójkąt A Nx B gdzie kat M Nx B =90 st. i kat M B Nx =60 st.= kąt A B Nx
( 90+30 = 120 , 180-120 =60 st
1/5 z kata 60 st =12 st
stąd kat B A Nx =12 st. kąt A N x B =180 -( 12 + 60 ) =108st
kąt A Nx M = 18 st . { 150+ 12 = 162 180-162=18 st.}
stąd kat A Nx B = 18 st + 90 st. ==108 st.
1/6 z kata 108 st =18 st . 5/6 z kata 108 = 90 st .

Teraz podsumowując w obu przypadkach spostrzegamy że punkty N i Nx
leżą liniowo => to właśnie prosta "K" przecinająca punkt M pod katem 30 st'
takim że M A =M B .

3) inny przypadek kąt A =21 st kat B =5*21 st.= 105 na tym samym rysunku
to kąt A Ny B = 180 -( 21+105) = 180 - 126 = 54 st
1/6 z 54 st =9 st 5/6 z 54 st =45 st (9+45)=54 st. = kątowi A Ny B



Teraz podsumowując : z tych wybranych dowolnie przypadkach spostrzegamy
że punkty N i Nx oraz Ny
leżą liniowo => to właśnie prosta "K" przecinająca punkt M pod katem 30 st'
takim że M A =M B .
Jak widać z tej wyliczanki można wyciągnąć wstępne wnioski o postawionej tezie .

Teraz inaczej : narysujmy trójkąt równoramienny A C B o przypadkowym
kącie np kącie A C B =72 st o podstawie A B
Na tym trójkącie opisujemy okrąg .
Ze środka M tej podstawy przez punkt M prowadzimy prosta "K pod katem 30 st .
przetnie ona okrąg w puncie "N c" łączymy punkt Nc z A i B
otrzymujemy trójkąt A Nc B o kącie 72 st ( gdyż jest on oparty na tym samym łuku AB ).
w ten sposób mam określoną konkretna długość odcinka AB i określony punkt M
i wyznaczony wierzchołek Nc trójkata A Nc B na prostej "K" .
( podobnie postępujemy dla innych kątów np 60 st , 75 st 81 st 144 itp . )
( praktyczny cel, to sprawdzenie ogulnionego algorytmu
dla dowolnych kątów {1/2 -1/6 =1/3 }

Czy takie zaproponowane intuicyjne rozumowanie jest poprawne ,
jeśli nie to gdzie błąd logiczny .
Ale to nie koniec ????

Z poważaniem Tadeusz W.

W przypadku który zasugerował Piasek101, będzie \(\displaystyle{ \left|\angle MNB\right|=60^\circ}\) i \(\displaystyle{ \left|\angle MNA\right|=30^\circ-\arctg\frac{\sqrt{3}}{6}\approx13,8979...^\circ}\) i koniec dyskusji.



W związku z tym:

• \(\displaystyle{ \frac{\left|\angle MNA\right|}{\left|\angle MNB\right|}=\frac{1}{6}\quad\Rightarrow\quad\left|\angle ANB\right|={\red{7}}\cdot\left|\angle MNA\right|}\)

Edit: Poprawa argumentu arctg i wartości końcowej.

do : SlotaWoj Diękuję Kol. za współpracę na tym forum forom .

Kol. piasek 101 zaproponował rozpatrzenie rozumowania dla kąta A B N = 90 st.
w tedy otrzymamy kąt A N B wynosi 72 st .
tu otrzymamy kąt B N M =60 st i kąt A N M= 12 st
W takim przypadku otrzymamy zależność ( dotyczy ona każdego przypadku
dla zależności kąt A B N jest 5 razy wiekszy od kąta B A N
[ kąt A N M ] /[ kąt M N B]= 1/5 { a nie 1/6 } ???????
90 st. / 5 =18 st to kąt B A N
Ciekawostka
1/2- 1/6 =1/3 1/2 z 72 st = 36 st 1/6 z 72 st = 12 st
tu otrzymamy 36 st -12 st =24 st bo 3* 24 st =72 st.

Myślę że to dużo wyjaśnia : ( ale to nie wszystko ?????/)

Z poważaniem Tadeusz W.

dzialka11o pisze:w tedy otrzymamy kąt A N B wynosi 72 st .

\(\displaystyle{ \left|\angle ANB\right|=73,8979...^\circ}\).

dzialka11o pisze: Kol. piasek 101 zaproponował rozpatrzenie rozumowania dla kąta A B N = 90 st.
w tedy otrzymamy kąt A N B wynosi 72 st .
tu otrzymamy kąt B N M =60 st i kąt A N M= 12 st

Po czasie, ale kąt ANB ma 72 z Twojego rozumowania. Wyznacz go biorąc długości odpowiednich odcinków (o tym pisałem) - tak jak my proponujemy - przekonasz się (patrz pokazane wyniki), że nie ma on 72.

Dzięki za współpracę :
Aby zrozumieć w tej sytuacji te rozbieżności wyników podanych przeze mnie
i podanych w odpowiedziach , to prosiłbym o rozpatrzenie przypadku ::

- dla kąta A B N = 75 st. ; otrzymamy kąt B A N = 15 st, ( 5*15 st= 75 st) .
( dla zadanego kąta N M B = 30 st . ---> kąt dopełniający wynosi M N A= 150 st. )
{ kąt A N B jest sumą kąta A N M i kąt M N B }


Proponuje też rozliczyć trójkąt A N B o kącie 144 st. (*) z punktem N na prostej 'K"::

Przyjmijmy kąt ABN =30 st ( przy kacie N M B=30 st) otrzymam
trójkąt równoramienny B N M o kącie M N B= 120 st. i kącie A N M =24 st .
a kąt A N B = (120 st. +24 st.)= 144 st. < -- (*) , ( 1/6 z 144 st . =24 st. )
{ 1/2 - 1/6 =1/3} 1/2 * 144 st. = 72 st. 72 st. -24 st .= 48 st 144/3 =48 st .
Jeżeli takie rozumowanie jest nie prawidłowe to gdzie błąd logiczny mego rozumowania .
Pozdrawiam Tadeusz W.

dzialka11o pisze: Aby zrozumieć w tej sytuacji te rozbieżności wyników podanych przeze mnie
i podanych w odpowiedziach , to prosiłbym o rozpatrzenie przypadku ::

Proponuje też rozliczyć trójkąt A N B o kącie 144 st. (*) z punktem N na prostej 'K"::

Przyjmijmy kąt ABN =30 st ( przy kacie N M B=30 st) otrzymam
trójkąt równoramienny B N M o kącie M N B= 120 st. i kącie A N M =24 st .
a kąt A N B = (120 st. +24 st.)= 144 st. < -- (*) , ( 1/6 z 144 st . =24 st. )
{ 1/2 - 1/6 =1/3} 1/2 * 144 st. = 72 st. 72 st. -24 st .= 48 st 144/3 =48 st .
Jeżeli takie rozumowanie jest nie prawidłowe to gdzie błąd logiczny mego rozumowania .

Błąd logiczny - przyjmujesz, że Twoje założenie o podziale kąta jest prawdziwe, a wykazaliśmy już jego fałszywość.

Podtrzymuję to co pisałem - weź (do cytowanego przypadku) długości boków i wyznacz je w oparciu o kąty trójkąta MNB i kąt rozwarty trójkąta AMN. Sprawdź czy otrzymasz kąt 24.

Trochę obliczyłem.
\(\displaystyle{ |MB|=10\sqrt 3}\) (przyjąłem dla wygody)
wtedy \(\displaystyle{ |MN|=|NB|=10}\)
wysokość trójkąta MNB to \(\displaystyle{ |NC|=5}\)
\(\displaystyle{ |AN|=10\sqrt 7}\) (z tw cosinusów w trójkącie AMN)

Pole trójkąta AMN to \(\displaystyle{ P=0,5|AM|\cdot |NC|=25\sqrt 3}\)

Oblicz to pole przyjmując, że kąt ANM ma 24 (licząc ze wzoru z sinusem kąta) nie otrzymasz tego co wyliczyłem.
Wniosek - kąt nie ma 24.

Do piasek 101
A jak będzie to rozliczenie wyglądać, o co też zapytałem ?


- dla kąta A B N = 75 st. ; otrzymamy kąt B A N = 15 st, ( 5*15 st= 75 st) .
( dla zadanego kąta N M B = 30 st . ---> kąt dopełniający wynosi M N A= 150 st. )
{ kąt A N B jest sumą kąta A N M i kąt M N B }

Będę serdecznie wdzięczny o interpretację wyniku dla powyższego przypadku ,
być może na tym przypadku zrozumie moje nieścisłości .
Oroszę o wyrozumiałość

Tadeusz W.-- 23 sie 2017, o 10:02 --Do : piasek 101

ciąg dalszy :
- dla kąta A B N = 75 st. ; otrzymamy kąt B A N = 15 st, ( 5*15 st= 75 st) .
( dla zadanego kąta N M B = 30 st . ---> kąt dopełniający wynosi M N A= 150 st. )
{ kąt A N B jest sumą kąta A N M i kąt M N B }
wg mnie otrzymamy wyniki
tu kąt B N M =75 st . a kat A N M = 15 st. ( suma to 90 st)
- przeoczyłem to ??
Pozdrawiam T. W.

To (jak i poprzednie) jednostkowy przypadek - a rozważać mamy czy podział kąta ANB jest taki jak założyłeś w ogólnym przypadku (czyli zawsze). Już wiemy, że tak nie jest.

I w tym jednostkowym przypadku kąty będą takie jak podajesz bo :
- trójkąty AMN jest równoramienny
- prowadzimy jego wysokość do podstawy
- trójkąt został podzielony wysokością na dwa jednakowe prostokątne.
Więc to, że masz \(\displaystyle{ 75:15=5}\) nie wynika z Twojego założenia.
Nie można było przyjąć, że tak jest - a zauważyć to dopiero po otrzymaniu tych kątów.

Do : piasek101 Offline
Serdeczne dzięki bo zrozumiałem Kol. rozumowanie .

I w tym jednostkowym przypadku kąty będą takie jak podajesz bo :
- trójkąty A M N jest równoramienny .

----------------------------------------------------------------------------------------------
Ale wracając do propozycji do mnie - przyjąć kąt A B N 90 st.
to otrzymamy kąt BAN = 18 st , (90:5=18) , a kąt A N B =72 st . i kąt B N M=60 st .
[suma ( 72 st.+18 st.=90 s t.) i ( 60 st + 12 st) =72 st
wg mnie kąt A N M =12 st (**)
skoro kat ABN = 90 st to trójkąt A N B prostokątny bo { prosta AB prostopadła do NB }
stąd można wnioskować ze prosta N B przechodzi przez środek okręgu opisanego
na trójkącie A N B .
[ ODWROTNIE < ---- na prostej A B wyznaczamy trójkąt równoramienny A C B
na tym trójkącie A C B opisujemy okrąg .
o kącie A C B =72 st . nasza prosta "K " przecina ten okrąg w puncie N i Nx

tu widać że prosta C Nx wyznacza kąt Nx C A = 12 st.
(bo kąty oparte na tym samym łuku są sobie równe . )

Stąd podtrzymuję że kąt A N M jednak wynosi 12 st.
1 2 st. : 72.st = 1/6 12.st./60.st.= 1/5


w/g SlotaWoj
będzie left|angle MNB
ight|=60^circ i left|angle MNA
ight|=30^circ-arctgfrac{sqrt{3}}
{6}approx13,8979...^circ ...

Te ukierunkowane propozycje pomogły mi w znaczącym stopniu rozwłóknić ten problem .
za co serdecznie dziękuję .

Z poważaniem T. W.