Matematyka.pl

Dzień 1:

1. Niech \(\displaystyle{ \tau(n)}\) oznacza liczbę dodatnich dzielników \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ \phi(n)}\) liczbę liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\) nieprzekraczających \(\displaystyle{ n}\). Znajdź wszystkie takie \(\displaystyle{ n}\), że jedna z liczb \(\displaystyle{ n, \tau(n), \phi(n)}\) jest średnią arytmetyczną z dwóch pozostałych.
2. Znajdź wszystkie \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełniające dla każdych \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ f(x+f(y))-f(x)=(x+f(y))^4-x^4}\).
3. Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\). \(\displaystyle{ I, J, K}\) to środki okręgów wpisanych w trójkąty kolejno \(\displaystyle{ ABC, ACD, ABD}\), a \(\displaystyle{ E}\) to środek łuku \(\displaystyle{ DAC}\). \(\displaystyle{ EK}\) przecina \(\displaystyle{ \omega}\) po raz drugi w \(\displaystyle{ F}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ C, F, I, J}\) leżą na 1 okręgu.


EDIT: Wyniki Polaków po dzisiaj: Ja i Zając 3, reszta 1 (ewentualnie jakieś częściówki może, no bo płynna skala 0-7)

Jakaś prosta ta geometria

lol, nie wierzę że Kaszuba tylko jedno rozwiązał

wiadomo jak poszło Czechom i Słowakom?

powodzenia jutro chłopaki

Dzień 2:
4. Geo, którą wszyscy zrobili w jakieś 2 min, a nie mam pod ręką kartki, więc się tam nie będę biedzić z pisaniem.
5. Miasto Mar del Plata ma kształt kwadratu \(\displaystyle{ n \times n}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste. W każdym takim polu stoją budynki, a między nimi są ulice (na bokach też). Każda ulica jest jednokierunkowa i dwie równoległe ulice obok siebie mają przeciwne kierunki jazdy. Jesteśmy samochodem i chcemy przejechać jak najwięcej odcinków. Startujemy w jednym rogu i musimy skończyć w naprzeciwległym, po każdym odcinku możemy przejechać tylko raz. Kierunki tych ulic są tak ustawione, aby można było rozpocząć na 2 sposoby (to już definiuje nam wszystko, bo one tam były naprzemiennie). Ile najwięcej odcinków można przejechać?
6. Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c, d>0}\) spełniające zależności \(\displaystyle{ abcd=4, a^2+b^2+c^2+d^2=10}\).
Wyznacz maksymalną wartość \(\displaystyle{ ab+bc+cd+da}\)

Dzisiaj Maciek ma komplet, ja i Igor po 2 (ja 4 i 5, Igor 4 i 6), a reszta po 1. I okazało się, że wczoraj Grzesiek prawie zrobił 2-gie, będzie miał za nie jakieś 5 pkt.
W sumie ja 5, Maciek i Zając 4, Igor 3, Grzesiek prawie 3, Łukasz 2.
I nie orientowałem się jak poszło innym krajom, ale Vodicka w trakcie omówienia zad. 6 położył się na podłodze, aby lepiej widzieć, zatem spora szansa, że go nie ma .
No poczekamy na wyniki, zobaczymy.
A co do moich nieodłącznych komentarzy do zadań, to 2, 3 i 5 są przyjemne, warto pokminić, ale mi wyjątkowo spodobało się 2, bardzo polecam.

Wyniki z grubsza:
1. Martin Vodicka 777777
2. Ja 777770
3. Michał Zając 777730
4. Maciek Dulęba 600777
7. Igor Kotrasiński 610717
9. Grzesiek Białek 750700
10. Łukasz Bożyk 510730

lol czemu Kaszuby nie ma

-- 2 lipca 2012, 21:06 --

można prosić o rozwiązanie wzorcowe do zadania 6?-- 3 lipca 2012, 14:11 --moje rozwiązanie szóstego