Matematyka.pl

Mam tu zestaw zadań dla nieustraszonych (ja osobiście zająłem się 3. i 4. noi 2. ale nie do końca)

Oto one (zadania dla klasy II Liceum, etap szkolny, rok 2010):

"1. Wyznaczyć ZWf funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sqrt[10]{(|x|-3)(4-x^{2})}}{\sqrt[2010]{|x|^{3}-1} }+\sqrt{16-x^{4}}}\)

2. Wykazać, że w dowolnym trójkącie prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ h_{a}h_{b}h_{c}= \frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{8R^{3}}}\)

oznaczenia chyba znane:
\(\displaystyle{ h_{a},h_{b},h_{c}}\) - wysokości trójkąta opuszczone na boki kolejno a b i c;
\(\displaystyle{ a,b,c}\) - boki tego trójkąta;
\(\displaystyle{ R}\) - długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie

3. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie:
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}=10}\)

4. Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 2010^{10}+50^{10}-2}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\)"

Można się domyśleć że zadania operujące na działaniach arytmetycznych mają związek z rokiem w którym odbywają się te zawody

Na razie to tyle, z czasem będę przysyłał więcej zadań z innych konkursów

4) Wykonujemy tu szereg przekształceń równoważnych, więc nie ma problemu z tym, że wyszedłem od tezy.

\(\displaystyle{ 2010^{10} + 50^{10} \equiv 2 (mod \ 7)}\)

\(\displaystyle{ 1^{10}+1^{10} \equiv 2(mod \ 7)}\)

\(\displaystyle{ 2 \equiv 2(mod \ 7)}\)

cnd.

edit// 2)

Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ h_a = \frac{2S}{a} \wedge h_b = \frac{2S}{b} \wedge h_c = \frac{2S}{c}}\)

Czyli po wymnożeniu mamy:

\(\displaystyle{ L = \frac{8S^3}{abc}}\)

Zostaje do udowodnienia:

\(\displaystyle{ \frac{8S^3}{abc} = \frac{a^2b^2c^2}{8R^3}}\)

Wyjdźmy ze znanego wzoru na S:

\(\displaystyle{ S = \frac{abc}{4R}}\)

\(\displaystyle{ abc=4SR /^3}\)

\(\displaystyle{ a^3b^3c^3 = 64S^3R^3}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \frac{a^2b^2c^2}{8R^3} = \frac{8S^3}{abc}}\)

A to należało wykazać.

Pozdrawiam.

Co ciekawe w trzecim wyszło mi, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.Ma ktoś jakieś inne rozwiązanie?

pozdrawiam

I masz rację, równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych. Należy zauważyć, że a oraz b są tej samej parzystości, w przeciwnym wypadku po lewej mielibyśmy liczbę nieparzystą, a po prawej parzystą, następnie rozpatrujemy 2 przypadki:

1) \(\displaystyle{ a\equiv b\equiv 0(mod \ 2)}\)

Wtedy lewa strona dzieli się przez 4, a prawa nie, sprzeczność.

2) \(\displaystyle{ a\equiv b\equiv 1(mod \ 2)}\)

Wtedy po lewej stronie mamy liczbę nieparzystą, a po prawej parzystą, sprzeczność.

Pozdrawiam.

Vax, można też rozważyć elipsę zadaną przez to równanie i przekonać się, że nie ma punktów całkowitych . No i tak jak Ty z parzystością też robiłem.

pozdrawiam

Również o tym myślałem, jednak, aby znaleźć wszystkie rozwiązania całkowite przydałoby się mieć przynajmniej jedno, aby dało się wyprowadzić wzór prostej przechodzącej przez ten punkt całkowity leżący na tej elipsie, a takich punktów za dużo tutaj nie ma

Pozdrawiam.

1. wyznacz dziedzine

Mam pytanie jeszcze w sprawie tego pierwszego
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ \sqrt[10]{(|x|-3)(4- x^{2}) } }{ \sqrt[2010]{|x|^{3}-1} }+ \sqrt{16-x^4}}\)
Wyszło mi \(\displaystyle{ x \in <-2;2> i ZW_{f}=0}\) więc tylko 0 jest wartością funkcji. Wykres funkcji to odcinek AB o końcach w punktach A(-2,0) i B(2,0), czyli \(\displaystyle{ |AB|=4}\)

Mógłby ktoś porównać moje rozwiązanie ze swoim, bo nie jestem pewien?

Ad.3 Mi też wyszło brak rozwiązań w liczbach całkowitych

P.S. Dzięki za (p)odpowiedzi do pozostałych zadań.
Mam jeszcze kilka zadań z toruńskiego konkursu im. Banacha, ale do tego założę nowy temat

Nie, wykres funkcji wygląda tak:
Pozdrawiam.

edit// Chociaż jak tak teraz patrzę, wolfram znowu mógł nie tak narysować wykres... Z tego co widzę, jako argumenty funkcja może przyjmować jedynie \(\displaystyle{ -2 \wedge 2}\)

Vax pisze:Nie, wykres funkcji wygląda tak:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28|x|-3%29%284-x^2%29%29^%281%2F10%29+%2F+%28%28|x|^3-1%29^%281%2F2010%29%29+%2B+%2816-x^4%29^%281%2F2%29

Pozdrawiam.

conajmniej dziwne, możliwe, że się pomyliłem, ale na kółku ta "rzecz" wyglądała inaczej.
Ale odpowiedź w moim mniemaniu jest prawidłowa-- 23 lut 2011, o 23:43 --

Vax pisze:Nie, wykres funkcji wygląda tak:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28|x|-3%29%284-x^2%29%29^%281%2F10%29+%2F+%28%28|x|^3-1%29^%281%2F2010%29%29+%2B+%2816-x^4%29^%281%2F2%29

Pozdrawiam.

edit// Chociaż jak tak teraz patrzę, wolfram znowu mógł nie tak narysować wykres... Z tego co widzę, jako argumenty funkcja może przyjmować jedynie \(\displaystyle{ -2 \wedge 2}\)

co do twojego "edit//" zgadzam się, na kółku nam tak wyszło <kozak>, ale nie bardzo pamiętam, jak dochodzilismy prawdziwości takiej odpowiedzi.

Jeśli chodzi o ten dziwny-dziwny-elo-wykres, to przecież tylko program, oparty na algorytmach wyboru i akcji, człowiek pewnie narysowałby to gorzej, albo w ogóle, ale za to z jaką finezją!!!