Matematyka.pl

Poziom 1:
1) Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 11^{10} -1}\) jest podzielna przez 10.

2) Wyznacz wszystkie trójki \(\displaystyle{ x, y, z}\) liczb całkowitych spełniające układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=-20 \\ x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =45 \\ x + y + z = -3 \end{cases}}\)

3) Dany jest trójkąt prostokątny. Udowodnij, że suma pól trójkątów równobocznych zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu trójkąta równobocznego zbudowanego na przeciwprostokątnej.

4) Piła ma 60cm długości i zęby będące jednakowymi trójkątami równoramiennymi. Wysokość każdego zęba jest równa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jego podstawy. Po zębach piły wędruje mrówka. Jaką drogę przebędzie pokonując wszystkie zęby.

5) Pokaż, że równanie \(\displaystyle{ x+y \sqrt{3} = \sqrt{4+ \sqrt{3} }}\) nie ma rozwiązań (x; y) w zbiorze liczb wymiernych.