Matematyka.pl

Już w środę zawody rejonowe VI SKM. Jak będziecie po konkursie, to wrzućcie zadania.

Zad. 1
Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych (x,y), które spełniają równanie

\(\displaystyle{ 9x^2=10y^2+19}\)

Zad. 2
Funkcja \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) warunki:
1)\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\)
2)\(\displaystyle{ f(1)=1}\)

Wyznaczyc \(\displaystyle{ f(\frac{9}{32})}\)

Zad. 3
Znaleźc resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 2009^{2009}}\) przez 37.

Zad. 4
Dany jest trapez, którego podstawy mają długości 7cm i 11cm. Wyznacz długośc x odcinka równoległego do podstaw tego trapezu, dzielącego ten trapez na dwa trapezy o równych polach.

Zad. 5
Wykazac, że dla dowolnych różnych liczb naturalnych nieparzystych a, b, c, d prawdziwa jest nierównośc.

\(\displaystyle{ a\cdot b \cdot c+a \cdot b \cdot d +a\cdot c \cdot d+ b\cdot c \cdot d +139 \leq 3 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot d}\)

Zadania dosc trudne rok temu mialem 23/25 w tym raczej bedzie okolo 17/25 ale i tak na final starcza. 2 zadanie idzie od reki. 3 zauwazcie ze 2009=11(mod37) a potem ze 11^3=-1(mod 37) i dalej łatwo. 4 duzo rachunkow 1 najtrudniejsze 5 nietypowe ale jakos idzie. Prog bedzie niski na finał wg mnie jakies +-11 pc

1. \(\displaystyle{ y^2}\) musiałby dawać resztę 2 przy dzieleniu przez 3, a tak być oczywiście nie może. Brak rozwiązań
2. \(\displaystyle{ f \left( \frac{9}{32} \right) = \frac{9}{32}}\)
3. 27
4. \(\displaystyle{ \sqrt{85}}\)
5. \(\displaystyle{ a\cdot b \cdot c+a \cdot b \cdot d +a\cdot c \cdot d+ b\cdot c \cdot d +139 \leq 3 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot d}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}( \cdot abc(3d-4)+abd(3c-4)+acd(3b-4)+bcd(3a-4)) \ge 139}\)
dla {a, b, c, d}={1, 3, 5, 7} mamy równość; dla większych wartości a, b, c lub d lewa strona tej nierówności wzrośnie

poprawione, dzięki za wskazanie błędu

Mógłby ktoś przedstawic rozwiązanie 4? Nie za barzdo wiem jak zrobic

\(\displaystyle{ BC=11, AD=7, FG=x}\)
\(\displaystyle{ h, h_1}\) - wysokości trapezu ABCD i AFHD odpowiednio
\(\displaystyle{ AB || DE}\)

\(\displaystyle{ \Delta DGH \sim \Delta DEC}\), więc \(\displaystyle{ \frac{h_1}{GH} = \frac{h}{EC}}\)
wyznaczamy \(\displaystyle{ h_1}\)
\(\displaystyle{ h_1 = \frac{GH \cdot h}{EC} = \frac{h(x-7)}{4}}\)

Ponadto z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{(x+7)\cdot h_1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(11+7) \cdot h}{2}}\), wstawiając za \(\displaystyle{ h_1}\) to co nam wyszło wcześniej i przekształcając, dostajemy \(\displaystyle{ x^2=85}\), skąd \(\displaystyle{ x= \sqrt{85}}\)

pierwszy raz bralem udzial w tym konkursie, moze wy mi powiecie jaki byl w tamtym roku prog punktowy, a jaki moze byc teraz?

Takie pytanie, ten konkurs jest podzielony na jakieś kategorie wiekowe?
btw. timon92,w 5. \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) dałeś za nawias, zamiast przed

Konkurs jest dla 1 i 2 klasy Liceum, gimnazjaliści w jakiś przypadkach mogą w nim stratować

co do zadań, to 4 zrobiłem przedłużając nierównoległe boki i korzystając z podobieństwa powstałych trójkątów, w 5 podzieliłem przez abcd, 2 na pałe, 1 i 3 z kongurencji, jak ktoś nie znał to miał problem

próg obstawiam na 16pkt.

binaj pisze:Konkurs jest dla 1 i 2 klasy Liceum, gimnazjaliści w jakiś przypadkach mogą w nim stratować

Tu się zdziwiłem, gdyż zadania jak dla mnie są proste, więc myślałem, że to konkurs dla gimnazjów. Tylko nad nierównością musiałem troszkę posiedzieć. Ile było czasu na konkursie?

kaszubki - tiaaa, dla gimnazjum i myślisz, że dużo jest osób takich jak Ty? Nie wiem co to byłby za konkurs, gdzie do finału przechodziłoby kilkanaściekilkadziesiąt osób...

zadania faktycznie nie są zbyt wymagające, ale po 1. jest to etap rejonowy, a po 2. jak ktoś kiedyś wspomniał to jest konkurs dla wszystkich, że tak powiem, a jeśli ktoś jest dobry to ma OM
było 120 minut

Jak zrobić 2?

Najpierw indukcyjnie takie dwa:\(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{N} \qquad f(x) = x \\
\forall n \in \mathbb{N} \textrm{ }\forall x \in \mathbb{R} \qquad f(nx)=nf(x)}\)

I już mamy dla każdej wymiernej \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\)(dodatniej, dla ujemnej jeszcze trzeba jeszcze wykazać \(\displaystyle{ f(x)=-f(-x)}\) ):
\(\displaystyle{ f(p)=f(q*\frac{p}{q})=qf(\frac{p}{q}) \iff f(\frac{p}{q})=\frac{f(p)}{q}=\frac{p}{q}}\)

źle, bo pierwsza wlasnosc udowodniles tylko dla naturalnych x, wiec w ostatniej linijce nie mozesz sie na to powolac przy niecalkowitym argumencie. dowod jest tutaj: 95484.htm?hilit=liniowa