Matematyka.pl

Wojewódzki Konkurs Matematyczny im. prof. Stefana Banacha zaintersowanych odsyłam na stronke: .
Pomyslałem sobie, że warto byłoby utworzyć temat o tym konkursiku(jest o śląskim czemu ma nie być o toruńskim ). W tym roku odbył się już pierwszy etap drugi zaczyna się bodajże 31 marca. Zadanka raczej proste więc zachecam ludzi do startu (co prawda juz za rok, ale...). Acha konkurs przeznaczony jest dla uczniów 1 i 2 klas szkól ponadgimnazjalnych (gimnazjalistom tez raczej nikt nie zabroni wystartować).
Tak swoją drogą jedzie ktoś na ten drugi etap?? Mi dzisiaj powiedzieli, że przeszedłem więc może dałoby radę jakoś się zgadać.

[ Dodano: 31 Marzec 2006, 09:39 ]
Ech dzisiaj zaczyna się finał(dzisiaj zawody indywidualne jutro drużynowe). Jak wruce to postaram się zamieścić zadania.

Dzisiaj finał. Mam nadzieje, że uda mi się coś osiągnąć:) Podzenia Ziomie Ziomisławie

Brałem kiedyś udział w tym konkursie Fajny jest (i dzięki niemu nie musiałem kupować kolejnych tomów o nierównościach autorstwa K.)

Zamieszczam zadania z tegorocznego finału. Na pierwszy ogień zawody indywidualne:

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ \left[\frac{3}{x}\right]+\left[\frac{4}{x}\right]=5}\).


Zadanie 2.

Ile najwięcej kątów prostych może mieć dwunastokąt? Odpowiedź uzasadnij.


Zadanie 3.

Usuń niewymierność z mianownika liczby:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}- \sqrt[3]{2}}\).


Zadanie 4.

Rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \left{x^{2}+xy+x=4\\y^{2}+xy+y=8}\)


Zadanie 5.

Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ABC}\), \(\displaystyle{ O_{1}}\) - punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ O}\) względem prostej zawierającej bok \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ O_{1}}\) leży na okręgu opisanym na tym trójkącie, to kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\).


Zadania jakie są każdy widzi. Nie mniej życzeprzyjemnego rozwiazywania !

Edit by Tomek R.: Pozwolilem sobie troszke przeredagowac tego posta, mam nadzieje, ze autor nie bedzie mial mi tego za zle. Poza tym poprawilem bledy skladni texa etc., chyba teraz jest czytelniej.

Czwarte jest fikuśne, to rzekłbym, że pierwsze przez dwa, wyciągnąć 2x przed nawias, z drugiego wyciągnąć y przed nawias, odjąć stronami i po robocie w sumie.
W trzecim to wzór by był pewno użyteczny na różnicę potęg szóstych.
A jak ten dwunastokąt ma być wypukły, to może mieć cztery kąty proste.

W czwartym wystarczy dodac sobie stronami oba rownania, podstawic \(\displaystyle{ t=x+y}\) i rozwiazac odpowiednie rownanie kwadratowe.

Tak btw. chcesz rozwiazania tych zadan? Czy tak 'dla informacji' napisales?

ja bym chętnie zobaczył rozwiązania tych zadań , bo na przykład 1 i 3 mnie gryzą

w pierwszym wystarczy podstawic \(\displaystyle{ t \equiv {1 \over x}}\), narysowac dwa wykresy, z ktorych wyniknie, ze \(\displaystyle{ t [0,75 ; 1)}\), czyli \(\displaystyle{ x ft( 1 , {4 \over 3} \right]}\). a trzecie Rogal juz mowil.

Rogal --> Yyy... Cztery kąty proste w dwunastokącie wypukłym? Może czegoś nie widzę, ale nie potrafię sobie tego wyobrazić.

A prawda, wyszło mniej niż cztery przecież, więc może mieć 3. Sorki za nadwerężanie wyobraźni ; )

Edit by Tomek R.: Pozwolilem sobie troszke przeredagowac tego posta, mam nadzieje, ze autor nie bedzie mial mi tego za zle. Poza tym poprawilem bledy skladni texa etc., chyba teraz jest czytelniej

Dziękuje bardzo-jakoś nie bardzo radze sobie z texem.

Rogal pisze:A jak ten dwunastokąt ma być wypukły

Ech, w trzecim 12-kat nie musi być wypukły. Przepraszam, że tego nie zaznaczyłem.

Tomasz Rużycki pisze:Tak btw. chcesz rozwiazania tych zadan? Czy tak 'dla informacji' napisales?

Zadania napisałem ogólnie dla informacji, ale w sumie z chęcią zobacze inne niż moje rozwiązania tych zadań, a z tego co widzę pojawiło się już parę ciekawych pomysłów.

Co do 1 to moim zdaniem najprościej jest walnąć komentarz, że oba ułamki bedą tego samego znaku (z tąd wniosek, że muszą być dodatnie czyli x też musi być dodatni) i całkowite. Liczbę pięć można przedstawić jako sumę dodatnich liczb całkowitych na 4 sposoby:
1)1+4=5 2)2+3=5 3)3+2=5 4)4+1=5
Teraz wystarczy sie zbadać dla x z jakich przedziałów ułamki będą przyjmować odpowiednie wartości i po zadaniu.

Jak wam w tym roku poszły zadania z pierwszego etapu, wg mnie najciekawsze bylo 3. Piszcie swoje rozwiazania, oto zadania ... 202008.pdf

Najlepsze było 11. Punkty na okręgu bo szło je zrobić używając wyłącznie funkcji trygonometrycznych!:D:D:D

[ Dodano: 29 Marca 2008, 23:03 ]
Zadanie 5, rok 2006 idzie tak:

Zauważmy, że trójkąt OBO1 jest równoramienny. Wobec tego trójkąt OCO1 jest równoramienny.
Oznacza to, że OC=O1C i OB=O1B
Ale przecież OC=OB, bo to jest promień okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Zatem trójkąt BO1C jest równoramienny.

Oznaczmy kąt ABO=OBC=CBO1=a
Wówczas kąt O1AB= 90-2a
Wobec tego kąt O1CB=90-2a bo to jest kąt wpisany oparty na tym łuku, co kąt O1AB

Z drugiej strony trójkąt BO1C jest równoramienny więc kąt O1CB=CBO1=a

Otrzymujemy równość 90-2a=a => a=30

Wobec tego kąt przy wierzchołku A = 180-BO1C=180-(180-2a)=2a=60
Co należało dowieść

Nie każdy tak kocha trygonometrię