Matematyka.pl

Zawody odbyły się 26 marca 2007 i adresowane były dla uczniów klas I i II szkół średnich. To były tylko eliminacje, bo osoby, które osiągnęły odpowiednio wysoki wynik, przechodziły do dalszego etapu. Test składał się z dwóch części z zadań otwartych i zamkniętych. Może kogoś to interesuje . Podaję zadania otwarte:

1)Wyznacz \(\displaystyle{ \frac{a+b}{a-b}}\), jeżeli \(\displaystyle{ 2a{2}+2b^{2}=5ab}\) i \(\displaystyle{ b>a>0}\).

2)Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) są kątami trójkąta o bokach a, b, c i polu trójkąta równym S, to:
\(\displaystyle{ ctg +ctg \beta+ctg\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}\)

3)Odległość od jednego przystanku rzecznego do drugiego jest równa 30 km. Motorówka drogę tam i z powrotem pokonuje w czasie 6 godzin, uwzględniając w tym 40 minut na przerwę w podróży. Oblicz prędkość motorówki, wiedząc, że woda w rzece płynie z prędkością 3 km/h.

4)Oblicz pole zakropkowanej figury podanej na rysunku. Odpowiedź uzasadnij.



Miłego rozwiązywania

Pierwsze ciekawe się wydaje, bo w końcu algebra .
Rozwiązałem je i wynik mi wyszedł raczej dobry, ale moje rozwiązanie było raczej hardcorowe i prosiłbym aby ktoś podał swoje rozwiązanie, bo wydaje mi się że można jakoś łatwo na wzorach skr. mn. , ale mi nie chce wyjść. Z góry dzięki!

\(\displaystyle{ 2a^2 + 2b^2 = 5ab}\) czyli \(\displaystyle{ (a+b)^2 = \frac{9}{2} ab}\) oraz \(\displaystyle{ (a-b)^2 = \frac{1}{2} ab}\)
Podziel, spierwiastkuj i już...
Niestety wg. mnie tylko to zad. 2gie jeszcze jako tako z poziomem jak dla klas 1-szych i IIgich ujdzie, reszta jest raczej zdecydowanie za łatwa jak na jakikolwiek konkurs, noooo chyba że na kangura by się nadawały (żeby nie wywowłać jakiegoś buntu to zaznaczam ze to tylko moje zdanie)

4) Jest naprawde latwe ;] Skoro boki maja po 12cm, to katy w naroznikach wynosza 60 stopni. Pole obszaru to pole trojkata rownobocznego o boku 12 - 3 razy 1/6 pola kola o promieniu 6cm POZDRO

palazi pisze:Niestety wg. mnie tylko to zad. 2gie jeszcze jako tako z poziomem jak dla klas 1-szych i IIgich ujdzie

Chyba tylko dlatego, że o twierdzeniach sinusów i cosinusów mówi się dopiero pod koniec 2 klasy...

soku11, skad masz pewnosc ze ta zamalowana figura dzieli boki trojkata na polowy?

No niby nie mam pewnosci... Tzn tak nie jest?? Jak bys to zrobil?? POZDRO

Inaczej sie nie da. Zadanie jest po prostu nieprecyzyjne

Czemu nieprecyzyjne? Dlatego, że nie napisali, że te białe części to wycinki kół? Bo innej nieścisłości nie widzę Zadanka ogólnie nietrudne, acz ciekawe

DEXiu pisze:Czemu nieprecyzyjne? Dlatego, że nie napisali, że te białe części to wycinki kół? Bo innej nieścisłości nie widzę Zadanka ogólnie nietrudne, acz ciekawe

Jaka masz pewnosc ze to sa wycinki kol ?
Robilem to zadanie i nic ...

Zrobil ktos ? Albo zrobi ?

Mam pomysł
Pt-3Pw
Pw=60/360*Πr^2
r^2=12^2-h^2
No i zadanie zrobione.

zaudi pisze:Mam pomysł
Pt-3Pw
Pw=60/360*Πr^2
r^2=12^2-h^2
No i zadanie zrobione.

Sorki ale napisz jeszcze jak mozesz co za co oznaczyles ... bo nie mam pojecia pt ... pw ... i jak mozesz to \(\displaystyle{ LaTeX}\)

Pt-pole trójkata równobocznego
Pw-jest to pole wycinka niezamalowanego
Pole wycinka obliczyłem z znanego wzoru
r-promień
h-wysokość trójkąta równobocznego
skorzystałem z twierdzenia pitagorasa i obliczyłem promień
Nie chce mi się tego obliczać ale mam nadzieje ze sposób dobry.

hehe, te wycinki, jak sie przyjrzec to takie bardzo koślawe "łuki" ;p

a drugie to tak jak max wspomniał... tylko tw. cosinusów
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=4S(ctg\alpha+ctg\beta+ctg\gamma)}\)

A wiecie co ja mysle ... ze to zadanie z wycinkiem to jest po prostu trzy wielokaty foremne obok siebie i trojkat ktory obcina kawalki tych wielokatow .. tylko co dalej ...