W koło wielkie kuli o promieniu r wpisano kwadrat. Wykaż, że suma kwadratów
odległości dowolnego punktu P leżącego na powierzchni kuli od wierzchołków
kwadratu jest równa 8r² (Wskazówka: wykorzystaj twierdzenie o kątach w okręgu)
Zadanie z III etapu konkursu kuratoryjnego w woj. mazowieckim. Bardzo proszę o pomoc
Suma kwadratów odległości punktu P
-
Gouranga
- Użytkownik
- Posty: 1595
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 252 razy
Suma kwadratów odległości punktu P
Kąt wpisany oparty o połowę okręgu jest prosty.
Na tej podstawie trójkąt utworzony z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu i punktu \(\displaystyle{ p}\) jest prostokątny (z kątem prostym przy punkcie \(\displaystyle{ p}\)).
Przeciwprostokątna tego trójkąta jest równa \(\displaystyle{ 2r}\).
Oznaczmy kwadrat jako \(\displaystyle{ ABCD}\).
Z tw. Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ |AC|^2 = |AP|^2 + |CP|^2\\
|BD|^2 = |BP|^2 + |DP|^2}\)
sumując stronami otrzymamy \(\displaystyle{ 8r^2}\)
Na tej podstawie trójkąt utworzony z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu i punktu \(\displaystyle{ p}\) jest prostokątny (z kątem prostym przy punkcie \(\displaystyle{ p}\)).
Przeciwprostokątna tego trójkąta jest równa \(\displaystyle{ 2r}\).
Oznaczmy kwadrat jako \(\displaystyle{ ABCD}\).
Z tw. Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ |AC|^2 = |AP|^2 + |CP|^2\\
|BD|^2 = |BP|^2 + |DP|^2}\)
sumując stronami otrzymamy \(\displaystyle{ 8r^2}\)