Matematyka.pl

Są wyniki:

Zadanka z finału:

1. Dane są takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y}\) i \(\displaystyle{ z}\), że spełnione są równości
\(\displaystyle{ x+y=z+2015}\) i \(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2+2015^2}\).
Wykaż, że liczby \(\displaystyle{ x, y}\) i \(\displaystyle{ z}\) spełniają też równość
\(\displaystyle{ x^3+y^3=z^3+2015^3}\).

2. Przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Pola trójkątów \(\displaystyle{ ABO, BCO, CDO}\) i \(\displaystyle{ DAO}\) są równe odpowiednio \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3}\) i \(\displaystyle{ S_4}\). Wykaż, że jeżeli
\(\displaystyle{ \frac{S_1+S_3}{2}=\sqrt{S_2S_4}}\),
to czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trapezem.

3. Rozstrzygnij, czy istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c}\), spełniające równanie
\(\displaystyle{ a^4+b^4+444=c^4}\).

4. Liczby \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5}\) są nieujemne, a ich suma jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Wykaż, że spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_3x_4x_5+x_4x_5x_6+x_5x_6x_1+x_6x_1x_2 \le \frac{1}{27}}\).

5. Dwusieczne kątów wewnętrznych przy wierzchołkach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają boki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\). Środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ C_1CB_1}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AB}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ ABC}\).

1.
Jeśli liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ a+b=c+d}\) i \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} = c^{2}+d^{2}}\), to zachodzą równości \(\displaystyle{ a = d, b = c}\). Co dowodzi nam od razu równości trzeciej. Dowód tego jest dość prosty, mianowicie podnieść pierwsze równanie stronami do kwadratu i otrzymamy problem, który pojawił się na II etapie OMG.