Śląski Konkurs Matematyczny - ŚKM 2015

[ben2109]

Witam, w dniu dzisiejszym odbył się etap rejonowy Śląskiego Konkursu Matematycznego, a poniżej wstawiam treści zadań:

1. Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami boków odpowiednio \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Odcinek \(\displaystyle{ AN}\) przecina przekątną \(\displaystyle{ BD}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \angle AMD = \angle BMP}\) .

2. Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{3} + \frac{5}{y} =8}\) .

3. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{ \sqrt[4]{1- x^{4} } } +\frac{1}{\sqrt[4]{1+ x^{4} }}}\) .

4. Trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ P(x)=a x^{2} +bx+2015}\), gdzie a, b są liczbami całkowitymi różnymi od zera, ma dwa pierwiastki całkowite. Wykaż, że \(\displaystyle{ P(2015)}\) jest liczbą parzystą.

5. Trapez równoramienny \(\displaystyle{ ABCD}\) (\(\displaystyle{ AB \parallel CD)}\), w którym \(\displaystyle{ AB=3CD}\) jest opisany na okręgu. Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są punktami styczności tego okręgu odpowiednio z bokami \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AD}\). Odcinek \(\displaystyle{ MN}\) przecina przekątną \(\displaystyle{ AC}\) tego trapezu w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{PM}{PN} =2}\) .

Zapraszam do dyskusji i zachęcam do zaprezentowania waszych rozwiązań.

Jestem ciekaw innego rozwiązania zadania trzeciego, ja podstawiłem:
\(\displaystyle{ t=1-x^{4}}\) oraz
\(\displaystyle{ 2-t=1+x^{4}}\)
Potem zacząłem różniczkować i wyszło. Wyczuwam tu jakąś nierówność między średnimi.

[jarek4700]

Drugie:

\(\displaystyle{ x^{2}y + 15 = 24y}\)

\(\displaystyle{ y(24-x^{2}) = 15}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{15}{24-x^{2}}}\)

Zatem \(\displaystyle{ 24-x^{2} = \frac{15}{k} = c}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) całkowite. Z drugiej strony \(\displaystyle{ c}\) musi być liczbą całkowitą bo \(\displaystyle{ x}\) jest całkowite.
\(\displaystyle{ \frac{15}{k}}\) jest całkowite dla \(\displaystyle{ k \in \pm1,\pm3,\pm5,\pm15}\).

Czyli mamy równania postaci \(\displaystyle{ 24-x^{2} = c}\), gdzie \(\displaystyle{ c \in \pm1, \pm3, \pm 5, \pm 15}\). Liczba \(\displaystyle{ 24 - c}\) ma być kwadratem liczby całkowitej, więc \(\displaystyle{ c = -1 \cup c = 15}\).

Wtedy pozostają pary:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y = -15\\
x = 5
\end{cases}

\begin{cases}
y = -15\\
x = -5
\end{cases}

\begin{cases}
y = 1\\
x = 3
\end{cases}

\begin{cases}
y = 1\\
x = -3
\end{cases}}\)

Trzecie, dobrze wyczuwasz:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt[4]{1-x^{4}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}}{2} \ge \sqrt{\frac{1}{\sqrt[4]{1-x^{4}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt[8]{1-x^{8}}}}\)

Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=0}\) więc wynikiem jest \(\displaystyle{ 2}\)

[Marcinek665]

Powyższe rozumowanie jest niepoprawne.

W analogiczny sposób pokażę, że najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^2 + 1}\) jest \(\displaystyle{ 2}\). Jest tak, ponieważ: \(\displaystyle{ x^2 + 1 \ge 2x}\) i równość zachodzi dla liczby \(\displaystyle{ x=1}\). Stąd najmniejsza wartość \(\displaystyle{ f(x)}\) to \(\displaystyle{ 2}\).

Ja rozwiązałem to tak:

Z nierówności między średnimi mamy \(\displaystyle{ 4 - x^4 = 1+1+1+(1-x^4) \ge 4 \sqrt[4]{1-x^4}}\) i podobnie \(\displaystyle{ 4 + x^4 = 1+1+1+(1+x^4) \ge 4 \sqrt[4]{1+x^4}}\). Oznacza to, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{4 \sqrt[4]{1-x^4}} + \frac{1}{4 \sqrt[4]{1+x^4}} \ge \frac{1}{4 - x^4} + \frac{1}{4+x^4}}\)

Teraz natomiast z nierówności szwarca w formie engela mamy, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4-x^2} + \frac{1}{4+x^2} \ge \frac{4}{8} = \frac{1}{2}}\)

Stąd po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 4}\), uzyskujemy, że najmniejszą wartością może być \(\displaystyle{ 2}\). I istotnie jest np dla \(\displaystyle{ x=0}\).

[ben2109]

4.
1) \(\displaystyle{ x_{1} +x_{2}= \frac{-b}{a}}\)

2) \(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2}= \frac{2015}{a}}\)

Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ a}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 2015}\), zatem \(\displaystyle{ a}\) jest nieparzyste.

Teraz przekształcamy pierwsze: \(\displaystyle{ a(x_{1} +x_{2})=-b}\)

Jako, że \(\displaystyle{ \frac{2015}{a}}\) jest nieparzyste, z tego wynika, że obydwa pierwiastki są nieparzyste(ich iloczyn musi dawać liczbę nieparzystą). Czyli \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą parzystą.
\(\displaystyle{ P(2015)=a \cdot (2015)^{2}+b \cdot 2015+2015}\)

\(\displaystyle{ P(2015)}\) jest zatem parzyste, bo sumujemy powyżej dwie liczby nieparzyste i jedną parzystą.

[Premislav]

Czy w trzecim nierówność Jensena dla wypukłej w swej dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^{-\frac 1 4}}\), równych wag oraz argumentów \(\displaystyle{ 1+x^{2}, 1-x^{2}}\) by przeszła, czy też zero z automatu za użycie dziwnych metod?

[Marcinek665]

Na tym konkursie bywa różnie. Pięć lat temu ucięto mi za dobrze rozwiązaną geometrię do 1/5, bo rozwiązałem ją analitycznie. Natomiast chyba dwa lata temu była osoba, która rozwiązała jedno zadanie za pomocą pochodnej (poprawnie, oczywiście) i dostała za to 5/5. Wynika stąd, że zależy to od humoru komitetu.

[Zahion]

W analogiczny sposób pokażę, że najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^2 + 1}\) jest \(\displaystyle{ 2}\). Jest tak, ponieważ: \(\displaystyle{ x^2 + 1 \ge 2x}\) i równość zachodzi dla liczby \(\displaystyle{ x=1}\). Stąd najmniejsza wartość f(x) to 2.

Wydaje mi się, że nie jest to dobry przykład, analogiczny sposób. Problem tutaj tkwi w tym, że wyrażenie \(\displaystyle{ 2x}\) nie przyjmuje największej wartości \(\displaystyle{ 2}\), ale przecież
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt[4]{1-x^{4}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}}{2} \ge \sqrt{\frac{1}{\sqrt[4]{1-x^{4}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt[8]{1-x^{8}}} \ge 1}\), a ostatnia nierówność wynika prosto z wymnożenia i zauważenia, że \(\displaystyle{ x^{8} \ge 0}\), a równość w każdej nierówności zajdzie tylko gdy \(\displaystyle{ x = 0}\)
Jeśli się mylę to proszę o wytłumaczenie.

[ben2109]

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt[4]{1-x^{4}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}}{2} \ge \sqrt{\frac{1}{\sqrt[4]{1-x^{4}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt[8]{1-x^{8}}}}\)

\(\displaystyle{ D: x^{4} \in \left\langle 0 , 1) \Rightarrow x^{8} \in \left\langle 0 , 1)}\)
\(\displaystyle{ x^{8} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 1\ge 1 - x^{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[8]{1-x^{8}}}\ge 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[4]{1-x^{4}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}\ge 2}\)

[Marcinek665]

Teraz to rozwiązanie jest już kompletne. Chodzi o to, że w poprzednim poście ograniczono lewą stronę przez coś zmiennego, a trzeba przez stałą (co dopiero ty zrobiłeś).

[Zahion]

Brak tej nierówności zeruje zadanie ?

[Marcinek665]

Tak jak mówiłem - często zależy od humoru. Ja w pierwszym odruchu nie zauważyłem, że wystarczy dopisać jedną linijkę, by to działało, ale ja to ja. Zero na pewno nie, a jeśli napisano, że ta funkcja po prawej się minimalizuje dla \(\displaystyle{ x=0}\), to raczej piątka.

[ben2109]

Teraz zadania są oceniane jak na olimpiadzie, czyli punktacja od 0 do 6.

[bakala12]

Fajne:

1.:    

Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie przecięciem \(\displaystyle{ AN}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Wówczas widzimy, że \(\displaystyle{ ABQC}\) to równoległobok. Stąd oczywiście \(\displaystyle{ ABP \sim DPQ}\) i skala tego podobieństwa to \(\displaystyle{ 2}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{AP}{PQ}=\frac{1}{2}}\), a stąd \(\displaystyle{ \frac{AP}{PN}=2}\). Stąd na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Menelaosa wnosimy, że \(\displaystyle{ M,P,C}\) są współliniowe. Teza wynika z przystawania trójkątów \(\displaystyle{ AMD}\) i \(\displaystyle{ MBC}\).

[bosa_Nike]

W trzecim można skorzystać z dodatniości \(\displaystyle{ F}\), monotoniczności funkcji potęgowej oraz z AM-GM.
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^4\ge\left(\frac{4}{ab}\right)^2\ge\frac{16}{\frac{a^4+b^4}{2}}}\)

[timon92]

no trzecie daje się sklepać czymkolwiek, nierówność Bernoulliego też działa:
\(\displaystyle{ F(x)=\left(1-x^4\right)^{-1/4} + \left(1+x^4\right)^{-1/4} \ge 1-\frac 14 \cdot \left(-x^4\right) + 1-\frac 14 \cdot x^4 = 2}\)