Matematyka.pl

Dziś był finał, zadania raczej proste. Zamieszczam treści zadań tak, jak pamiętam:
1) Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których wyrażenie \(\displaystyle{ n^3 + 3}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n+3}\)
2) Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie P tak, że: \(\displaystyle{ |PC| = |PB|}\) i \(\displaystyle{ |PA| = |PD|}\) Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABP. Udowodnij, że proste OP i DC są prostopadłe.
3) Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{5x + 6}{4}\right] = \frac{3x - 1}{2}}\)
4) Dany jest ostrosłup prawidłowy o długości krawędzi podstawy 20 i wysokości 30. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i prostopadłą do przeciwległej ściany. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Ad 3. Nie wiem czy dobrze zrobiłem więc jak coś poprawcie

krok 1.
\(\displaystyle{ \frac{3x-1}{2}}\) jest całkowite, więc \(\displaystyle{ 3x-1}\) jest parzyste, czyli 3x nieparzyste, zatem x nie może być parzyste

krok 2.
\(\displaystyle{ \frac{3x-1}{2} qslant \frac{5x+6}{4}qslant \frac{5x+6}{4}qslant 5x+6qslant 5x+6\\
x qslant 8\\
\\
\\
5x+64}\)

czyli \(\displaystyle{ 4qslant 8}\) oraz x jest nieparzyste, czyli możliwe odpowiedzi to \(\displaystyle{ x=5}\) oraz \(\displaystyle{ x=7}\)

edit:
No tak, źle założełem że x jest całkowite. Ale z tego co mówisz oraz tego, że \(\displaystyle{ 4qslant 8}\) mamy, że \(\displaystyle{ 12qslant 24}\) a skoro a jest nieparzyste, to a może wynosić 13, 15, 17, 19, 21, 23, czyli x może wynosić \(\displaystyle{ 4\frac{1}{3}; 5; 5\frac{2}{3}; 6\frac{1}{3}; 7; 7\frac{1}{3}}\) teraz dobrze?

Prawie, ale jako że 3x jest nieparzyste, to x jest postaci:
\(\displaystyle{ x = \frac{a}{3}}\), gdzie a jest liczbą nieparzystą.
Teraz w porządku.

Ad 1
\(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}\\
\frac{n^3+3}{n+3}\in\mathbb{N}\\
\frac{n^3+3}{n+3}=\frac{n^3+3n^2-3n^2-9n+9n+27-24}{n+3}=(n^2-3n+9)-\frac{24}{n+3}\in\mathbb{N}}\)
Czyli wystarczy znaleźć takie liczby n, żeby
\(\displaystyle{ (n+3)|24\\
n+3\in\{3;\ 4;\ 6;\ 8;\ 12;\ 24\}}\)

4. zadanie to się w ogóle nadaje na klasówkę, a jedynie w 2. trzeba było chwilkę pomyśleć.

Witam, czy może wiecie kiedy jest ogłoszenie wyników tegorocznego konkursu?
pozdrawiam

Jutro o 12.