Matematyka.pl

Czy ktoś może wie, jak zrobić to zadanie:
17. Czy zachodzi równość?
\(\displaystyle{ \sqrt[6]{9+4 \sqrt{5} }-\sqrt[6]{9-4 \sqrt{5} }=1}\)
Szukałem go wszędzie ale nigdzie nie znalazłem rozwiązania, ani także na nie nie wpadłem.

Zauważ na samym początku, że \(\displaystyle{ 9+4 \sqrt{5} = \left( 2+\sqrt{5}\right) ^{2}}\). Czyżby to coś uprościło?

Można to zrobić w ten sposób:

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{9+4\sqrt{5}}-\sqrt[6]{9-4\sqrt{5}} = x /^3}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}-3\sqrt[6]{(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})}x=x^3}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}-3\sqrt[6]{1}x = x^3}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}-3x=x^3}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(2+\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}-3x=x^3}\)

\(\displaystyle{ 2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}-3x=x^3}\)

\(\displaystyle{ x^3+3x-4=0}\)

Widzimy, że jednym z pierwiastków wielomianu jest 1, zgodnie z twierdzeniem Bezout'a, dzieli się on bez reszty przez \(\displaystyle{ x-1}\), po podzieleniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ (x-1)(x^2+x+4)=0}\)

2 czynnik ma pierwiastki zespolone, tak więc jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest x=1. cnd.

Pozdrawiam.