Matematyka.pl

W jakimś konkursie dla gimnazjum z roku 2006/2007 znalazłem takie oto zadanie:

W trójkąt ABC wpisano okrąg styczny do boków AB, BC i AC odpowiednio w punktach M, D, N. Wiedząc że |NC| = 3, |MA| = 2 i \(\displaystyle{ \sphericalangle}\) ACB = 60 stopni, oblicz pole trójkąta.

[/url]

Obliczyłem że promien r =\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), ale nadal mam problem z obliczeniem długości tych dwóch boków, konkretniej odcinka |MB| = |DB| bo to będzie potrzebne do pola. Jakieś sugestie?

\(\displaystyle{ P= \frac{(3+2) \cdot (3+x)sin60^o}{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{(2+x)r}{2}+\frac{(x+3)r}{2}+\frac{(2+3)r}{2}}\)

Dzięki wielkie, rozwiązanie okazalo się banalne:)

Mam jeszcze takie zadanka, jakby komus się chciało to proszę o wskazówki:)

1. W trójkącie równoramiennym ABC (|AC| = |BC|) ramię na długość 30 cm a podstawa 36 cm. Odcinek łączący środek M ramienia BC z wierzchołkiem A przecina wysokość CD w punkcie E. Przez punkt E prowadzimy równolegle do AB odcinek KL, którego końce leżą na ramionach trójkąta. Oblicz pole trapezu ABKL

2. Na przeciwległych bokach kwadratu o boku a narysowano w jego wnętrzu dwa trójkąty równoboczne o boku a. Oblicz pole figury, która jest wspólną częścią tych trójkątów.

3. Z miejscowości A i B wyruszyli jednocześnie naprzeciw sobie maszerujący z różnymi prędkościami dwaj piechurzy. Po spotkaniu jeden z nich musiał maszerować jeszcze 1h 4 min, drugi 36 min. Ile czasu potrzeba każdemu z nich na przebycie drogi między A i B?

4. W kwadracie o kobu długości a ścięto naroża tak, że powstał ośmiokąt o równych bokach. Zapisz wyrażenie algebraicznie opisujące pole ośmiokąta. Sprowadź je do możliwie najprostszej postaci.

5. W równoległoboku ABCD na boku DC obrano punkt D taki że AE jest prostopadłe do BD i |EB| = |AD| Oblicz pole trapezu ABED, wiedząc że miara kąta ostrego równoległoboku wynosi 60 stopni, a pole trójkąta BCE jest równe \(\displaystyle{ 3 \sqrt{3} cm^{2}}\)

2.
post556431.htm

4.
post359396.htm

-- dzisiaj, o 22:21 --

1.
Trójkąt ABC jest równoramienny.
CD jest więc jego środkową.
AM też jest środkową.
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
Trójkąty ABC i KLC są podobne. Skala podobieństwa to \(\displaystyle{ k= \frac{2}{3}}\)
Policz pole trójkąta ABC. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobienstwa, więc da się również policzyć pole trójkata KLC.
Pole trapezu to różnica pól tych trójkątów.-- dzisiaj, o 22:40 --3.
\(\displaystyle{ t}\) - czas jaki upłynął do chwili spotkania
\(\displaystyle{ v_1}\) - prędkość I piechura
\(\displaystyle{ v_2}\) - prędkość II piechura
\(\displaystyle{ v_1t}\) - droga I piechura do chwili spotkania (jednocześnie droga jaka pozostała II piechurowi do przebycia w czasie 36 minut)
\(\displaystyle{ v_2t}\) - droga II piechura do chwili spotkania (jednocześnie droga jaka pozostała I piechurowi do przebycia w czasie 1h 4 min)

Wystarczą takie podpowiedzi?

Dziękuję, podpowiedzi wystarczające dla zadań geometrycznych, zadanie nr 5 chyba zwiera błąd w treści.

W zadaniu nr 3 ułożyłem takie 2 równania:

\(\displaystyle{ V _{1}= \frac{V_2t}{ \frac{64}{60} }}\)

\(\displaystyle{ V _{2}= \frac{V_1t}{ \frac{36}{60} }}\)

Ok, t wyszło 48 minut

Wyszło mi tyle samo. A nad 5 nadal myślę.

-- dzisiaj, o 23:41 --

5.
Powinno być obrano punkt E a nie D

Trójkąt BCE będzie równoboczny.
Z pola można policzyć \(\displaystyle{ b}\), potem wysokość i \(\displaystyle{ a}\)
[/url]

Świetnie:)

a pole czegoś takiego?

[/url]

Bok kwadratu \(\displaystyle{ a}\) równy promieniowi \(\displaystyle{ r}\) każdego z okręgów i wynosi 4

Trójkąt \(\displaystyle{ ABG}\) jest równoboczny. (bok to promień okręgu)
\(\displaystyle{ |<ABG|=60^o}\), czyli \(\displaystyle{ |<GBC|=30^o}\)
Trójkąt \(\displaystyle{ BHC}\) jest równoboczny. (bok to promień okręgu)
\(\displaystyle{ |<HBC|=60^o}\), czyli \(\displaystyle{ |<HBG|=|<HBC|-|<GBC|=60^o-30^o=30^o}\)

Policz pole odcinka koła opartego na łuku HG.
Pole trójkąta HBG.
Pole odcinka koła o łuku HG.
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta HBG można policzyć \(\displaystyle{ |HG|}\)
Trójkąt HOG jest jest równoramienny i prostokątny. Mając HG można policzyć przyprostokątne lub jego wysokość, a potem pole. (można też skorzystać z podobieństwa trójkątów HOG i ABC)

Pole \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) szukanej figury to suma pól tego trójkąta i odcinka koła.

Mogłabyś jeszcze podpowiedzieć jak w zadaniu nr 5 wyznaczyć a?

5.
Oznaczenia na rysunku:
\(\displaystyle{ FA=FB=x}\)

\(\displaystyle{ FD=DE=y}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+x^2=a^2 \\ y^2+y^2=(a-b)^2\\x^2+y^2=b^2 \end{cases}}\)