Matematyka.pl

Elo, mam dla was zadanka z 2-giej serii konkursu gimnazjalnego, a oto one:
Ciekawe, czy rozwiążecie wszystkie, bo mi się nie udało

1. Która z liczb jest większa \(\displaystyle{ 3^{100}-2^{150}}\) czy \(\displaystyle{ 3^{50}+2^{75}}\) ?

2. Samochód przejechał drogę z miejscowości A do B ze stałą prędkością. Gdyby prędkość samochodu była mniejsza o 8 km/h, to jechałby o 15 minut dłużej. Gdyby prędkość samochodu była o 10 km/h większa, to jechałby o 15 minut krócej. Jaka jest odległość między miejscowościami A i B ?

3. Fabryka wysyła towar w paczkach po 3 i 5 kg. Wykaż, że w ten sposób można wysłać każdą całkowitą liczbę kilogramów większą od 7.

4. Dane są: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez. Każda z tych figur została pomalowana jednym z kolorów: granatowym, fioletowym, żółtym, czerwonym, białym. Powiedz, jakim kolorem pomalowano każdą z tych figur, jeżeli wiesz, że:
- figura, która nie ma kątów prostych, a suma miar każdych sąsiednich kątów jest równa 180O, nie jest ani żółta, ani granatowa;
- na fioletowo została pomalowana figura, której przekątne przecinają się pod kątem prostym;
- żółta nie jest ani figura, której przekątne są dwusiecznymi kątów, ani figura, która ma tylko jedną parę boków równoległych;
- figura, którą przekątna dzieli na dwa trójkąty prostokątne, jest biała.

Temat przenoszę, bo Pitagoras nie jest miejscem na zadania konkursowe ... Tym bardziej, że z tych 4 zadań jest tylko jedno o figurach.

Ad. 1

\(\displaystyle{ 3^{100}-2^{150}=(3^{50}-2^{75})(3^{50}+2^{75})}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ 3^2\geq 2^3+1\, \Longleftrightarrow\, 3^{50}>2^{75}+1\, \Longleftrightarrow\, 3^{50}-2^{75}>1}\)

Zatem \(\displaystyle{ 3^{100}-2^{150}>3^{50}+2^{75}}\)

n - liczba kilogramów, wiemy, że \(\displaystyle{ n > 7}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n=5k\wedge k\ge 2}\), to wtedy pakujemy oczywiście w paczki po 5kg.
Jeśli \(\displaystyle{ n=5k+1\wedge k\ge 2}\), to \(\displaystyle{ n=5k+1=5(k-1)+1+5=5(k-1)+2\cdot 3}\) i towar pakujemy w dwie paczki po 3kg i resztę towaru w paczki po 5kg.
Jeśli \(\displaystyle{ n=5k+2\wedge k\ge 2}\), to zauważamy, że \(\displaystyle{ n=5k+2=5(k-2)+2+10=5(k-2)+12}\) i towar pakujemy w cztery paczki po 3kg i resztę towaru w paczki po 5kg (owej reszty może nie być, gdy \(\displaystyle{ n=12}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n=5k+3}\), to oczywiście towar umieszczamy w jednej paczce po 3kg i paczkach po 5kg.
Jeśli zaś \(\displaystyle{ n=5k+4=5(k-1)+9 k\ge 1}\), to towar pakujemy w trzy paczki po 3kg i paczki po 5kg.

to z paczkami mozna znacznie prosciej zrobic, tylko nie wiem czy w gimnazjum znana jest indukcja
zauwazmy ze jesli potrafimy wyslac ciezar \(\displaystyle{ n=3k+5l}\) to i potrafimy \(\displaystyle{ n+3=3(k+1)+5l}\), jest krok indukcyjny trzeba znalezc tylko baze \(\displaystyle{ 8=3+5,9=3*3,10=2*5}\) koniec