Matematyka.pl

Arkusz zadań z półfinałów dolnośląskich meczy matematycznych, runda III:

1) Państwo Kowalscy zaprosili na kolację pięć innych małżeństw. Ponieważ nie wszyscy sie znali osoby, które się nie znały zostały sobie przedstawione i wymieniły uściski dłoni (osoby znające się nie wymieniały żadnych uścisków). Pod koniec przyjęcia pan Kowalski zapytał wszystkie pozostałe osoby ile uścisków dłoni wymieniły. W odpowiedzi uzyskał 11 różnych liczb. Ile dłoni uścisnęła pani Kowalska?

2) Na wyspie Opatowickiej żyje 45 kameleonów: 14 zielonych, 15 czerwonych i 16 niebieskich. Gdy spotykają się dwa kameleony różnych barw, obydwa zmieniają kolor na ten trzeci. Czy może się zdarzyć, że po pewnej liczbie spotkań wszystkie kameleony będą tego sdamego koloru?

3) Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ |x+3|=m^{2}-2m}\) ma dwa różne pierwiastki ujemne?

4) Dla jakich naturalnych k można zapisać jedna pod drugą trzy różne permutacje liczb od 1 do k tak, aby po dodatniu liczb stojących w pionowych kolumnach otrzymać k kolejnych liczb naturalnych?

5) Czy wśród liczb zapisanych w systemie dziesiętnym za pomocą samych jedynek istnieje taka, która jest kwadratem liczby naturalnej?

6) W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokość CH. z punktu H poprowadzono odcinki HM i HN, prostopadłe odpowiednio do boków AC i BC. Udowodnij, że trójkąty ABC i NMC są podobne.


7) w sześcianie o krawędzi długości 1m fruwa 2010 much, Czy można tak wybrać kulę o promieniu 9cm, by fruwały w niej co najmniej 3 michy? Kula może wystawać poza sześcian.

8) Dany jest półokrąg AB. Chcemy na nim zaznaczyć punkt M w taki sposób, by suma jego odległości od punktów A i B była największa z możliwych. Gdzie powinien leżeć taki punkt?

9) Są dwie loterie liczbowe. W jednej losowanych jest 6 liczb z 40 los kosztuje 4 złote, a głowna wygrana to milion złotych. W drugiej losuje się 7 z 42 liczb, los kosztuje 2zł, a nagroda główna to 3,5mln złotych. Nagrody główne przyznawane są tylko za trafne wytypowanie wszystkich liczb. W którą z tych loterii bardziej opłaca się grać?

10) Wiadomo, że \(\displaystyle{ x= \frac{2+ \sqrt{3} }{ \sqrt{2}+ \sqrt{2+ \sqrt{3} } }+ \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{3} }{ \sqrt{2}- \sqrt{2- \sqrt{3} } }}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ x^{2}}\)

Rozwiązania mile widziane

3. Wszystko ładnie widać po narysowaniu wykresu. Z niego odczytasz, że:
\(\displaystyle{ m^2-2m>3}\)

chyba chodzi o \(\displaystyle{ m^{2}-2m<3}\)? trzeba jeszcze będzie wykluczyć przypadek kiedy \(\displaystyle{ m^{2}-2m=0}\).

Najbardziej interesuja mnie rozwiązania zadań 1,2,6,10. Od razu byłoby miło gdyby ktoś powiedział mi czy następujące rozwiązania zadań 4,7 i 9 są poprawne:

4) nie do końca rozumiem treść, ale wydaje mi się że kolejne liczby naturalne które mamy otrzymać po sumowaniu kolumn nie muszą być uporządkowane według kolejności rosnącej. Wtedy moje rozwiązanie wyglądałoby tak:
Najpierw trzeba zaznaczyć że dopiero dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\) zbiór będzie miał conajmniej 3 permutacje. Dalej jeżeli weźmiemy następującą premutacje zbioru od 1 do k: \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{k}}\) to pod nią zapisujemy "odwrotną" permutacje: \(\displaystyle{ a_{k},a_{k-1},...,a_{1}}\) teraz suma w każdej kolumnie jest taka sama i powiedzmy że wynosi \(\displaystyle{ n}\) teraz dopisując kolejną obojętnie jaką permutacje otrzymamy w którejś kolumnie n+1, w innej n+2,...., n+k więc otrzymamy k kolejnych liczb naturalnych. Więc odpowiedzią jest \(\displaystyle{ k \ge 3}\)

7) Sześcian ma objętość \(\displaystyle{ 1 mln cm^{3}}\), natomiast objętośc kuli o promieniu 9cm jest mniejsze od \(\displaystyle{ 3062cm^{3}}\). Więc w sześcianie możemy umieścić mniej niż 327 kul, a skoro mamy tyle kul to z zasady szufladkowej widać już, że w którejś musi być wiecej niż 3 muchy.

9) wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 2* {42 \choose 7}> {40 \choose 6}}\) i stwierdzić, że bardziej opłaca się grac w drugiej loterii?

10)
\(\displaystyle{ \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}. \mbox{ i podobnie } \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}.}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ x= \frac{2+ \sqrt{3} }{ \sqrt{2}+ \sqrt{2+ \sqrt{3} } } + \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{3} }{ \sqrt{2}- \sqrt{2- \sqrt{3} } } = \frac{2+ \sqrt{3} }{ \sqrt{2}+ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} }+ \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{3} }{ \sqrt{2}- \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} } = \sqrt{2}\left( \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+3}\times \frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \right)=\sqrt{2}\times\frac{6}{6}=\sqrt{2} \Rightarrow \fbox{x^2=2}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{2+ \sqrt{3} }{ \sqrt{2}+ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} }+ \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{3} }{ \sqrt{2}- \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} } = \sqrt{2}\left( \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+3}\times \frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \right)=}\)

możesz wyjaśnić to przejście?

Wybacz, w nawiasie miał być \(\displaystyle{ +}\) a nie \(\displaystyle{ \times}\), nie mogę już tego wyedytować.

tak, ale mimo to, wydaje mi się że powinno być: \(\displaystyle{ \sqrt{2}( \frac{2+ \sqrt{3} }{3+ \sqrt{3} }+ \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{3} }{3- \sqrt{3} })}\)

Wynik wychodzi inny, ale głównie chodziło o ten myk ze wzorem skróconego mnożenia więc dziękuję ;D

Ja uznałem że źle przepisałeś i że w drugim liczniku na górze ma być \(\displaystyle{ 2-\sqrt{3}}\), bo jednak -- z całym szacunkiem -- wynik \(\displaystyle{ 2}\) jest dla mnie bardziej prawdopodobny niż \(\displaystyle{ 0.578898\cdots}\) Ale jak tam sobie chcecie

Przepisane jest dobrze, wynik zostawie z niewymiernością i tyle : d

Jak zrobić 5 ?

podając przykład \(\displaystyle{ 1=1^{2}}\), swoją drogą gdyby dopisali do zadania "z wyjątkiem cyfry 1" to takich kwadratów by nie było, bo każda liczba postaci "........11" daje przy dzieleniu przez 4 reszte 3, a kwadrat liczby naturalnej nie może dawać takiej reszty. Pozdro ; D

No właśnie ! A jak byłem w kwietniu na meczu to przeciwna drużyna dostała za ten przykład 0 punktów i komentarz "chodziło o inną liczbę" ; D