Matematyka.pl

Witam, przygotowuje sie do Konkursu Kuratoryjnego z matematyki i z kazdym zagadnieniem w miare sobie radze, oprocz takich z udowadnianiem, stwierdzaniem, typu :

\(\displaystyle{ \frac{1^{1994} + 2^{1995} + 3^{1996}}{5}}\)

Udowodnij ze wynik tego dzielenia jest liczbą całkowitą.

I mam pytanie, takie zadania mozna zaliczyc do jakiegos dzialu z matematyki? bo sam nie wiem jaki to jest dział, a chetnie bym cos poczytal o tym jak takie zadania rozwiazywac, od czego zaczynac itp.

Prosze o wyrozumialosc jesli napisalem to w złym dziale, ale to moj pierwszy post na tym forum ;]

Musze to jakos zrozumiec bo takie zadanie zawsze sa prawie na konkursach, patrzac na te z poprzednich lat ( woj. lubelskie)

Poczytaj o kongruencjach. Tego nie ma w programie szkolnym, a jest proste(oczywiście podstawowe zastosowanie) i bardzo przydatne.


Jak coś będzie niezrozumiałe to pisz:)

tak poczytalem to na wikipedii i to drugie i nic z tego nie rozumiem nie da sie tego jakos latwiej wytlumaczyc ? o co chodzi z tym modem, te znaki tez takie niezrozumiałe ... a mozesz tamto zadanie co podałem rozwiazac ? ja juz tego mod costam nie rozumiem.

\(\displaystyle{ a \equiv b \ (mod \ p) \Leftrightarrow p|a-b}\)
Kongruencje można stronami mnożyć i podnosić do potęgi,więc:
\(\displaystyle{ 1 \equiv 1 \ (mod \ 5) \\ 1^{1994} \equiv 1 \ (mod \ 5)}\)
\(\displaystyle{ 4=2^{2} \equiv -1 \ (mod \ 5) \\ (2^{2})^ {997} \equiv (-1)^{997}=-1 \ (mod \ 5) \\ 2^{1995}=2 \cdot 2^{1994} \equiv 2 \cdot (-1)=-2 \ (mod \ 5)}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ 3^{2}=9 \equiv -1 \ (mod \ 5)}\):
\(\displaystyle{ (3^{2})^{998} \equiv(-1)^{998}=1 \ (mod \ 5)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 1^{1994} + 2^{1995} + 3^{1996} \equiv 1-2+1=0 \ (mod \ 5)}\).
Czyli \(\displaystyle{ 5|1^{1994} + 2^{1995} + 3^{1996}-0=1^{1994} + 2^{1995} + 3^{1996}}\)
Z tego wynika, że poczatkowe wyrażenie jest całkowite:)

mocno to zamotane widze, ja zawsze przy takich zadaniach to wyciagalem cos przed nawias, pozniej jakies wzory, itp. taki sposob chyba najlatwiejszy, chociaz niektorych rzeczy pewnie takim sposobem sie nie da. a co oznacza ta kreska pionowa ? i te 3 poziome kreski? :p

wydawalo mi sie ze z matmy niezly jestem, jakies tam osiagniecia mam a tego za nic nie moge zrozumiec ocb

i czy myslisz ze na konkursach w gimnazjum takie cos jest juz wymagane ?

Na "zwykłych" konkursach w gimnazjum nie jest to potrzebne, co nie znaczy, że nie przydaje się, ale można wszystko bez tego rozwiązać.
Ale już na OMG albo OM już jest bardziej potrzebne i naprawdę ułatwia sprawę.

Co to są 3 poziome kreski masz ładnie opisane w linkach które dostałeś wyżej, chyba niedokładnie czytałeś.
Kreska pionowa oznacza podzielność. Tzn jeżeli liczba \(\displaystyle{ x}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ y}\) to możemy to zapisać jako \(\displaystyle{ x|y}\)

Na Olimpiadzie to również nie jest wymagane, można pisać "a daje z dzielenia przez p tę samą resztę, co b", ale łatwiej chyba napisać \(\displaystyle{ a \equiv b}\) \(\displaystyle{ (modp)}\)

xanowron pisze:Na "zwykłych" konkursach w gimnazjum nie jest to potrzebne, co nie znaczy, że nie przydaje się, ale można wszystko bez tego rozwiązać.

W takim razie, da się rozwiązać to zadanie nie stosując tej metody kongruencji? Jeśli tak, to jak? Szczerze mówiąc, to mój brat jest dosyć dobry z matematyki, jest teraz w 3 klasie liceum ( rok maturalny ), a nie zna tej kongruencji .

Jest taki sposób, chociaż to właściwie to samo co kongruencje tylko bez "mądrego zapisu": Ostatnia cyfra z \(\displaystyle{ 1 ^{1994}}\) to 1, ostatnia cyfra z \(\displaystyle{ 2 ^{1995}}\) to 8, bo ostatnie cyfry potęg dwójki powtarzają się cyklicznie: 2,4,8,6; analogicznie ostatnia cyfra z \(\displaystyle{ 3 ^{1996}}\) to 1. Jak dodasz do siebie te liczby to otrzymujesz ostatnią cyfrę 0, bo dodajesz 1+8+1. A jeśli kończy się na 0 to dzieli się przez 5.

Chodzi o badanie reszty z dzielenia przez pięć.

Kongruencje się nie pojawią nigdzie w programie, gdyż formalnie wprowadza się je jako relację równoważności na \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) dopiero, gdy wie się co to relacja, czyli około studiów, a to przerasta możliwości większości olimpijczyków. Korzystanie z niej jednak nie jest bynajmniej zabronione, a wręcz pożądane - bo łatwo się sprawdza i wszystko widać jasno.

na wstepie dzieki wszystkim za odpowiedzi

czyli na kuratoryjnym w gimnazjum raczej tego stosowac nie bede, troche bym zdziwil sprawdzajacych pewnie no ja tez robie tak ze ostatnia cyfra potegi itp. ;]

a juz tak zapytam, wiecie skad mozna dostac arkusze z konkursow kuratoryjnych, etapu szkolnego, z poprzednich lat? bo na stronie lubelskiego kuratorium chyba nie ma, w sumie z innych wojewodztw tez bym popatrzyl wiec jak ktos wie gdzie sa to prosze powiedziec ;]

... &Itemid=60 Śląsk.