Matematyka.pl

Moim zdaniem dobrym pomysłem byłoby stworzenie na forum bazy zadań z konkursów (szczególnie tych, z których zadania nie są publikowane ofcjalnie w internecie, jak np. PKM). Mogłabym się podjąć przepisania w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u treści zadań, które posiadam w wersji papierowej. Pozostają kwestie techniczne. Żeby to służyło przyszłym pokoleniom, to temat powinien być przyklejony. No i można by zrobić listę odnośników do zadań na wzór Katalogu: 17167.htm .(Tylko nie wiem, czy moje umiejętności informatyczne na to pozwalają ) Co o tym sądzicie?

Przykład jakby to mogło wyglądać:

1. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ |x-1|+|y-1|<1}\), to \(\displaystyle{ |x^{2}+y^{2}-2|<3}\).

2. Wyznacz współczynniki równania \(\displaystyle{ x^{3}-ax^{2}+bx-c=0}\) tak, aby pierwiastkami tego równania były liczby \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\).

3. Dowieść, że dla każdego trójkąta zachodzą nierówności \(\displaystyle{ \frac{1}{2r}< \frac{1}{h_{1}}+ \frac{1}{h_{2}}< \frac{1}{r}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) oznacza promień koła wpisanego w ten trójkąt, zaś \(\displaystyle{ h_{1}}\) i \(\displaystyle{ h_{2}}\) – wysokości tego trójkąta.

4. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \frac{a-b}{1+ab}+ \frac{b-c}{1+bc}+ \frac{c-a}{1+ac}=0}\), to co najmniej dwie spośród liczb \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) są równe.

5. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem środkowej \(\displaystyle{ AD}\), zaś punkt \(\displaystyle{ F}\) punktem przecięcia prostej \(\displaystyle{ BE}\) z bokiem \(\displaystyle{ AC}\). Oblicz pole czworokąta \(\displaystyle{ FEDC}\) wiedząc, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wynosi \(\displaystyle{ P}\).