Dowód:
Jeżeli istnieje skończona granica
\(\displaystyle{ f'(x_{0})=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x},}\)
to\(\displaystyle{ \lim_{\Delta x\to 0}\left(f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x=}\)
\(\displaystyle{ f'(x_{0})\cdot 0=0,}\)
czyli\(\displaystyle{ \lim_{\Delta x\to 0}f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0}),}\)
a więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_{0}.}\)\(\displaystyle{ \blacksquare}\)Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.