\(\displaystyle{ \lim_{y \to y_0} \int_a^b f(x,y) \; \mbox d x = \int_a^b \lim_{y \to y_0} f(x,y) \; \mbox d x = \int_a^b \varphi (x) \; \mbox d x \quad (*)}\)
Dowód:
Biorąc dowolną liczbę \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) znajdujemy taką liczbę \(\displaystyle{ \delta > 0}\), żeby spełniona była zależność \(\displaystyle{ \text{gdy} \; |y - y_0| < \delta , \quad \text{to} \; |f(x,y) - \varphi (x) | < \epsilon}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \mathbb{X}}\) jednocześnie.
Wówczas dla \(\displaystyle{ |y - y_0| < \delta}\) jest
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \left| \int_a^b f(x,y) \; \mbox d x - \int_a^b \varphi (x) \; \mbox d x \right| & = & \left| \int_a^b \left( f(x,y) - \varphi (x) \right) \; \mbox d x \right| \\
& \leqslant & \int_a^b \left| f(x,y) - \varphi (x) \right| \; \mbox d x < \epsilon (b-a)\end{eqnarray*}}\)
Co dowodzi równości (*) \(\displaystyle{ \square}\)
Źródło: G. M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 2007.