\(\displaystyle{ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = f(x) \quad (\star)}\).
Współczynniki \(\displaystyle{ a_i, \; i = 0,1, \ldots , n}\) mogą być zarówno stałymi jak i funkcjami zmiennej \(\displaystyle{ x}\).Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ (\dagger ) \; \; y = C_1 y_1 + \ldots + C_n y_n}\) jest całką ogólną równanie jednorodnego (tj. równania \(\displaystyle{ (\star)}\) gdy \(\displaystyle{ f(x) \equiv 0}\)), możemy wyznaczyć całkę szczególną równania niejednorodnego \(\displaystyle{ (\star)}\) stosując metodę wariacji (uzmienniania) stałych. Ideą tej metody jest potraktowanie stałych \(\displaystyle{ C_i, \; i =1, \ldots ,n}\) jako funkcji zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Funkcje te wyznaczamy z następującego układu równań (zapisanego w postaci równania macierzowego):
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} y_1 & \ldots & y_n \\
y_1^\prime & \ldots & y_n^\prime \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
y_1^{(n-1)} & \ldots & y_n^{(n-1)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1^\prime \\ C_2^\prime \\ \vdots \\ C_n^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \frac{f(x)}{a_n} \end{pmatrix}}\)
Pierwszą macierz po lewej nazywamy macierzą Wrońskiego.y_1^\prime & \ldots & y_n^\prime \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
y_1^{(n-1)} & \ldots & y_n^{(n-1)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1^\prime \\ C_2^\prime \\ \vdots \\ C_n^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \frac{f(x)}{a_n} \end{pmatrix}}\)
Wyznaczając z tego równania \(\displaystyle{ C_1' (x), \ldots, C_n'(x)}\), a następnie \(\displaystyle{ C_1 (x), \ldots, C_n (x)}\) i wstawiając w miejsce stałych w \(\displaystyle{ (\dagger )}\) otrzymujemy całkę szczególną równania niejednorodnego \(\displaystyle{ (\star)}\). Przy całkowaniu pochodnych \(\displaystyle{ C_1' (x), \ldots, C_n'(x)}\) nie ma znaczenia jaką wartość przyjmie stała całkowania.
Przykłady
- \(\displaystyle{ y' + y = e^{-x} \ln x}\), rozwiązaniem równania jednorodnego jest \(\displaystyle{ y_o = C_1 e^{-x}}\). Stosujemy metodę wariacji stałych:
\(\displaystyle{ e^{-x} \cdot C_1^\prime = e^{-x} \ln x}\)Natychmiast obliczamy, że \(\displaystyle{ C_1' = \ln x}\) i \(\displaystyle{ C_1 = x ( \ln x - 1)}\). Zatem całka szczególna rozważanego równania niejednorodnego wynosi \(\displaystyle{ y_s = e^{-x} x ( \ln x - 1)}\). Aby otrzymać całkę ogólną, należy dodać: \(\displaystyle{ y_o + y_s}\). - \(\displaystyle{ y'' - 4y' + 4y = \tfrac{e^{2x}}{1 + x^2}}\), rozwiązaniem równania jednorodnego jest \(\displaystyle{ y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x}}\). Stosujemy metodę wariacji stałych:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} e^{2x} & x e^{2x} \\ 2 e^{2x} & e^{2 x}+2 e^{2 x} x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1^\prime \\ C_2^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{e^{2x}}{1 + x^2} \end{pmatrix}}\)Po rachunkach otrzymujemy: \(\displaystyle{ C_1 = - \tfrac{1}{2} \ln (1 + x^2), \; C_2 = \arctan x}\). - \(\displaystyle{ (1-x) y'' + xy' - y = (1-x)^2}\), rozwiązaniem równania jednorodnego jest \(\displaystyle{ y = C_1 e^x + C_2 x}\). Stosując metodę wariacji stałych otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} e^{x} & x \\ e^{x} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1^\prime \\ C_2^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{(1-x)^2}{1-x} \end{pmatrix}}\)skąd znajdujemy, że \(\displaystyle{ C_1 = (x+1) e^{-x}, \; C_2 = x}\).