Liczenie całek metodami analizy zespolonej
Spis treści1. Całki typu \(\displaystyle{ \int_0^{2 \pi} R ( \sin \theta, \cos \theta ) \; \mbox d \theta}\)
2. Całki typu \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \; \mbox d x}\)
3. Całki typu \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \begin{array}{l} \sin \alpha x \\ \cos \alpha x \end{array} \; \mbox d x}\)
4. Całki typu \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} x^{\alpha - 1} f(x) \; \mbox d x}\)
1. Całki typu \(\displaystyle{ \int_0^{2 \pi} R ( \sin \theta, \cos \theta ) \; \mbox d \theta}\)
gdzie funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną \(\displaystyle{ \sin \theta}\) i \(\displaystyle{ \cos \theta}\) obliczamy stosując podstawienie \(\displaystyle{ z = e^{i \theta}}\), skąd
\(\displaystyle{ \sin \theta = \frac{1}{2 i} \left(z - \frac{1}{z} \right) , \quad \cos \theta = \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right), \quad \mbox d z = i e^{i \theta} \; \mbox d \theta \iff \mbox d \theta = \frac{1}{i} \cdot \frac{\mbox d z}{z}}\)
Po poczynionych podstawieniach całka przybiera postać\(\displaystyle{ \int_0^{2 \pi} R ( \sin \theta, \cos \theta ) \; \mbox d \theta = \frac{1}{i} \int_C R \left( \frac{1}{2 i} \left(z - \frac{1}{z} \right),\frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right) \right) \; \frac{\mbox d z}{z} = \frac{1}{i} \int_C S(z) \; \mbox d z}\)
gdzie S oznacza funkcję wymierną zmiennej z, natomiast kontur C to okrąg jednostkowy o środku w początku układu współrzędnych.Taka funkcja podcałkowa jest analityczna wewnątrz konturu C poza skończoną liczbą N punktów, w których funkcja podcałkowa ma bieguny (punkty \(\displaystyle{ z_k}\)). Na mocy twierdzenia o residuach
\(\displaystyle{ \frac{1}{i} \int_C S(z) \; \mbox d z = 2 \pi \sum_{k = 1}^N \textbf{res}_{z_k} S}\)
Dowód:
2. Całki typu \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \; \mbox d x}\)
gdzie funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) spełnia następujące założenia
- jest analityczna w górnej półpłaszczyźnie (\(\displaystyle{ \textbf{im} z \geqslant 0}\)) za wyjątkiem skończonej liczby N punktów, w których ta funkcja posiada biegun (punkty \(\displaystyle{ z_k}\))
- nie posiada biegunów na osi rzeczywistej
- dla \(\displaystyle{ |z| \to +\infty}\) wyrażenie \(\displaystyle{ z f(z)}\) zbiega jednostajnie do zera dla wszystkich wartości \(\displaystyle{ \textbf{arg} \, z}\), takich że \(\displaystyle{ 0 \leqslant \textbf{arg} \, z \leqslant \pi}\)
- dla rzeczywistego x jest \(\displaystyle{ x f(x) \to 0}\) gdy \(\displaystyle{ x \to \pm \infty}\), w taki sposób iż obie całki \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} f(x) \; \mbox d x}\) i \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^0 f(x) \; \mbox d x}\) są zbieżne
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \; \mbox d x = 2 \pi i \, \sum_{k = 1}^N \textbf{res}_{z_k} f(z)}\)
Dowód:
3. Całki typu \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \begin{array}{l} \sin \alpha x \\ \cos \alpha x \end{array} \; \mbox d x}\)
Przy obliczaniu tego typu całek korzystamy z lematu Jordana.
W praktyce oznacza to, że w kontekście rozważanego typu całek prawdziwy jest następujący wzórLemat Jordana pisze:Niech \(\displaystyle{ f(z)}\) będzie funkcją regularną w górnej półpłaszczyźnie zespolonej, za wyjątkiem skończonej liczby izolowanych osobliwości biegunowych i niech \(\displaystyle{ f(z) \to 0}\) jednostajnie dla wszystkich \(\displaystyle{ 0 \le \textbf{arg} \, z \le \pi}\), przy \(\displaystyle{ |z| \to +\infty}\). Wówczas, dla \(\displaystyle{ \alpha > 0}\) zachodzi\(\displaystyle{ \lim_{\rho \to +\infty} \left\{ \int_{\Gamma} e^{\alpha i z} f(z) \; \mbox d z \right\} = 0}\)(kontur całkowania to oczywiście górny półokrąg)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \alpha x} f(x) \; \mbox d x = 2 \pi i \sum_{k = 1}^N \textbf{res}_{z_k} \left\{ e^{i \alpha z}f(z) \right\}}\)
Dowód:
4. Całki typu \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} x^{\alpha - 1} f(x) \; \mbox d x, \quad \mbox{dla} \; 0 < \alpha < 1}\)
obliczamy korzystając z następującego wzoru
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} x^{\alpha - 1} f(x) \; \mbox d x = \frac{2 \pi i}{1 - e^{i 2 \pi \alpha }} \sum_{k = 1}^N \textbf{res}_{z_k} \left\{ z^{\alpha - 1} f(z) \right\} = \frac{\pi}{\sin \alpha \pi} \sum_{k = 1}^N \textbf{res}_{z_k} \left\{ (-z)^{\alpha - 1} f(z) \right\}}\)
O funkcji \(\displaystyle{ f}\) zakładamy, że jest- funkcją wymierną zmiennej \(\displaystyle{ x}\)
- nie posiada biegunów na osi rzeczywistej
- \(\displaystyle{ x^\alpha f(x) \to 0}\) gdy \(\displaystyle{ x \to 0}\) i \(\displaystyle{ x \to +\infty}\)
Dowód:
Wszelkie uwagi oraz pytania proszę kierować wyłącznie na PW.