Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a_{n}\rightarrow g_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n}\rightarrow g_{2}}\), przy czym niech np. \(\displaystyle{ g_{1}<g_2}\). Niech \(\displaystyle{ 0<\varepsilon<\frac12(g_2-g_1)}\) i niech
\(\displaystyle{ |a_{n}-g_{1}|<\varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ n\ge N_{1}=N_{1}(\varepsilon)}\)
oraz\(\displaystyle{ |a_{n}-g_{2}|<\varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ n\ge N_{2}=N_{2}(\varepsilon).}\)
Stąd dla \(\displaystyle{ n>\max\{N_{1},N_{2}\}}\) mamy:\(\displaystyle{ g_2-g_1=|g_2-a_{n}+a_{n}-g_{1}|\le|g_2-a_{n}|+ |a_{n}-g_{1}|<\varepsilon+\varepsilon<g_{2}-g_{1}.}\)
Otrzymana sprzeczność potwierdza tezę.\(\displaystyle{ \blacksquare}\)