Pojęcie funkcji pierwotnej :
Funkcja F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x) lub całką z f(x) w danym przedziale, jeżeli w całym tym przedziale f(x) jest pochodną funkcji F(x) ( ewentualnie można powiedzieć, że f(x) jest różniczką F(x):
F'(x) = f(x) lub d F(x) = f(x) dx
Zatem całkowanie to znalezienie wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji. Dlaczego wszystkich ? Ano dlatego :
TW. Jeśli w pewnym przedziale F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to funkcja F(x) + C, gdzie C oznacza dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f(x). ( logiczne bo pochodna stałej = zero )
Wyrażenie F(x) + C nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem :
\(\displaystyle{ \int f(x) dx}\) gdzie f(x) - funkcja podcałkowa zaś iloczyn f(x) dx nazywamy wyrażeniem podcałkowym
Własności całki nieoznaczonej :
\(\displaystyle{ [ \int f(x) dx ] ' = f(x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int F'(x) dx = F(x) + C}\)
Podstawowe wzory na całki
\(\displaystyle{ \int 0 dx = C}\)
\(\displaystyle{ \int 1 dx = x + C}\)
\(\displaystyle{ \int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x} dx = ln |x| + C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+x^2} dx = arc tg x + C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = arc sin x + C}\)
\(\displaystyle{ \int a^x dx = \frac{a^x}{ln a} + C}\)
\(\displaystyle{ \int e^x dx = e^x+ C}\)
\(\displaystyle{ \int sin x dx = - cos x + C}\)
\(\displaystyle{ \int cos x dx = sin x+ C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{sin^{2}x}dx = - ctg x + C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{cos^{2}x}dx = tg x + C}\)
Podstawowe reguły całkowania
\(\displaystyle{ \int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx}\)
całkowanie przez podstawienie
Jeżeli mamy funkcje ciągłe f(x) ; f'(x) oraz g(x) przy czym wiemy, że
\(\displaystyle{ \int g(t) dt = G(t) + C}\)
to
\(\displaystyle{ \int g[f(x)]f'(x) dx = G [f(x)] + C}\)
Przykład:
\(\displaystyle{ \int \frac{2x}{x^2} dx = | podstawienie \ \ t = x^2 , dt = 2x | = \int \frac{dt}{t}}\)
całkowanie przez części
Niech u = f(x) i v=g(x) będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne u'=f'(x) v'=g'(x). Wówczas
\(\displaystyle{ \int u dv = uv - \int v du}\)
(stosujemy kiedy całka po prawej jest łatwiejsza do obliczenia niż początkowa, choć ciężko od razu przewidzieć czy tak będzie )
Przykład:
\(\displaystyle{ \int lnx dx = | niech : f(x)=lnx g'(x)=1 \ \ wtedy f'(x)=\frac{1}{x} g(x)=x | = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx}\)
Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcją wymierną nazywamy po prostu iloraz dwóch wielomianów, co można prosto zapisać jako
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}}\) ( pamiętajmy o dziedzinie takiej funkcji )
Przy obliczaniu całek takiego typu mamy pewne podstawowe wytyczne ich rozwiązywania :
1) jeżeli P(x) jest stopnia równego bądź większego niż Q(x) wykonujemy dzielenie P(x) przez Q(x), co spowoduje przedstawienie ilorazu tych wielomianów w bardziej przystępnej do całkowania formie
Przykład:
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4} dx = \int( 1 + \frac{(-3x+5)}{x^2+3x-4})dx}\)
Obliczenie całki po prawej jest prostsze niż obliczenie tej po lewej stronie znaku równości ( rozwiązanie dalej ).
2) jeżeli P(x) jest stopnia mniejszego niż Q(x) dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej na tzw ułamki proste czyli na wyrażenia postaci
\(\displaystyle{ \frac{A}{(ax+b)^\alpha}}\) lub/oraz \(\displaystyle{ \frac{Bx+C}{(cx^2+dx+e)^\beta}}\) przy czym wszystkie literki poza x-em są stałymi, α i β są liczbami naturalnymi, zaś wyróżnik trójmianu jest ujemny.
ciąg dalszy przykładu
\(\displaystyle{ \int (\frac{-3x+5}{x^2+3x-4})dx}\)
wpierw zamieniamy funkcję kwadratową na postać iloczynową ( miejscami zerowymi są 1 i -4), po czym dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej:
\(\displaystyle{ \frac{-3x+5}{(x+4)(x-1)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-1}}\)
z czego mamy :
\(\displaystyle{ -3x+5 = A \cdot (x-1) + B \cdot (x+4) = Ax + Bx - A + 4B}\) (*)
Przyrównujemy teraz odpowiednie potęgi zmiennej :
- dla \(\displaystyle{ x^0}\) mamy \(\displaystyle{ 5 = 4B - A}\)
- dla \(\displaystyle{ x^1}\) zapisujemy \(\displaystyle{ -3=A+B}\)
skąd prosto obliczamy A i B.
Ewentualnie obliczyć te stałe można również wstawiając do równania (*) oba miejsca zerowe.
3) Ponadto warto sprawdzać, czy funkcja w liczniku nie jest pochodną funkcji w mianowniku ( wtedy podług gotowego wzoru całka będzie równa logarytmowi naturalnemu z modułu mianownika ), co działa dla ułamka prostego z funkcją liniową w mianowniku:
\(\displaystyle{ \int \frac{A}{(ax+b)} dx = \frac{A}{a} \int \frac{a dx}{(ax+b)} = \frac{A}{a} ln |ax+b| + C}\)
c.d.n. PS w razie błędów w pisaniu prosze o informacje na PW