Całka sumy jest równa sumie całek
Jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ g}\) są całkowalne dla \(\displaystyle{ x\in X}\), to:\(\displaystyle{ \int\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)\mbox{d}x=\alpha\int f(x)\mbox{d}x+\beta\int g(x)\mbox{d}x}\),
\(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\) - stałe rzeczywiste.Dowód:
Ponieważ
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\alpha\int f(x)\mbox{d}x+\beta\int g(x)\mbox{d}x\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\alpha\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\int f(x)\mbox{d}x\right)+\beta\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\int g(x)\mbox{d}x\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\alpha f(x)+\beta g(x)}\).
Stąd po obustronnym scałkowaniu, dla \(\displaystyle{ x\in X}\) mamy:\(\displaystyle{ \int\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)\mbox{d}x=\alpha\int f(x)\mbox{d}x+\beta\int g(x)\mbox{d}x}\).
\(\displaystyle{ \blacksquare}\)