Matematyka.pl

Postaram się w jednym miejscu zebrać podstawowe wzory na wyznaczanie równań asymptot wykresu funkcji.
Rozważmy w tym celu dowolną funkcję \(\displaystyle{ f\colon X\to\mathbb{R}}\) określoną na zbiorze \(\displaystyle{ X\subset\mathbb{R}}\).

1. Jeśli \(\displaystyle{ x_0\in X}\) jest punktem nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) oraz przynajmniej jedna z granic \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)}\), \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)}\) jest nieskończona, tzn. równa \(\displaystyle{ -\infty}\) lub \(\displaystyle{ +\infty}\), to prostą \(\displaystyle{ x=x_0}\) nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Dokładniej, jeśli granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)}\) (odpowiednio \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)}\)) jest nieskończona, to mówimy o asymptocie pionowej lewostronnej (odpowiednio prawostronnej). Jeśli obydwie granice są nieskończone, to mówimy o asymptocie pionowej obustronnej.

2. Załóżmy teraz, że dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest przedziałem postaci \(\displaystyle{ (a,+\infty)}\) lub \(\displaystyle{ (-\infty,b)}\), przy czym przedziały te mogą być jednostronnie domknięte.
Niech \(\displaystyle{ a_1=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}}\), \(\displaystyle{ b_1=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-a_1x]}\). Jeśli powyższe granice istnieją i są skończone, to prostą \(\displaystyle{ y=a_1x+b_1}\) nazywamy asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Analogicznie, niech \(\displaystyle{ a_2=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}}\), \(\displaystyle{ b_2=\lim_{x\to -\infty}[f(x)-a_2x]}\). Jeśli powyższe granice istnieją i są skończone, to prostą \(\displaystyle{ y=a_2x+b_2}\) nazywamy asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Jeśli równości \(\displaystyle{ a_1=a_2,\ b_1=b_2}\) zachodzą jednocześnie, to prostą \(\displaystyle{ y=a_1x+b_1}\) nazywamy asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).

3. W szczególnym przypadku, gdy \(\displaystyle{ a_1=0}\) (odpowiednio \(\displaystyle{ a_2=0}\)), mówimy, że prosta \(\displaystyle{ y=b_1}\) (odpowiednio \(\displaystyle{ y=b_2}\)) jest asymptotą poziomą prawostronną (odpowiednio asymptotą poziomą lewostronną) wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\). Analogicznie w przypadku \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ a_1=a_2=0}\) i \(\displaystyle{ b_1=b_2}\), wprowadzamy pojęcie asymptoty poziomej obustronnej wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Warto przeanalizować przykłady funkcji przedstawione w zestawie zadań 206140.htm .