Teraz wystarczy każdy z tych składników prymitywnie oszacować z góry.
JK
1) W takim razie skąd ta pierwsza zależność? Na jakiej podstawie jest tam \(\displaystyle{ s^{s}}\)? Rozumiem że moja teoria o tym że jedno przybliżenie jest dokładniejsze od drugiego jest prawdziwe stąd ta nierówność w hincie 1?
2) Co rozumiesz poprzez prymitywne oszacowanie? Na jakiej postawie oszacowałeś prawą stronę równania?
Przepraszam z góry za takie być może trywialne dla was pytania ale nie jestem typowym matematykiem z wykształcenia, zadanie robię na zaliczenie i nie wszystko jest dla mnie jasne a staram się zrozumieć
kaminie318 pisze: ↑17 cze 2023, o 19:37
Przepraszam z góry za takie być może trywialne dla was pytania ale nie jestem typowym matematykiem z wykształcenia, zadanie robię na zaliczenie i nie wszystko jest dla mnie jasne a staram się zrozumieć
Nie ma problemu ale postaraj się skupić na naszych wskazówkach. Zapewniam, że odrobina skupienia i cierpliwości się opłaci. Idziesz do przodu z hintami mimo, że wcześniejsze nie są zrobione. Wróćmy więc do pierwszego faktu, który jest jedną z dwóch kluczowy obserwacji. Chcesz udowodnić, że \(\displaystyle{ s^s\le s!e^s}\).
Od teraz nie parz na Wiki w ogóle.
Myśl przykładami. Z faktu, że \(\displaystyle{ 3 \approx \pi }\) nie wynika, że \(\displaystyle{ \pi \le 3}\). Znaczek \(\displaystyle{ \approx }\) jest więc od teraz zabroniony.
Użyj faktu: dla każdego \(\displaystyle{ s\in\NN}\) istnieje \(\displaystyle{ \frac {1}{12s+1}<\lambda _{s}< \frac {1}{12s}}\) taki, że \(\displaystyle{ s!={\sqrt {2\pi s}}\;\left({\frac {s}{e}}\right)^{s}e^{\lambda _{s}}}\).
Możesz więc wstawić do nierówności, której dowodzić \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\;\left({\frac {s}{e}}\right)^{s}e^{\lambda _{s}}}\) zamiast \(\displaystyle{ s!}\). Uprość równoważnie to co otrzymasz. Jeśli będzie to prawdą to koniec.
dla pewnego \(\displaystyle{ \frac {1}{12s+1}<\lambda _{s}< \frac {1}{12s}}\).
skąd masz \(\displaystyle{ s!e^s=s^s\cdot {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\lambda _{s}}}\). Pozostaje zatem zauważyć, że \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\lambda _{s}}\ge 1.}\) Ale wiesz, że \(\displaystyle{ \lambda _{s}> \frac {1}{12s+1}}\), wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\frac {1}{12s+1}}\ge 1.}\)
kaminie318 pisze: ↑17 cze 2023, o 19:372) Co rozumiesz poprzez prymitywne oszacowanie? Na jakiej postawie oszacowałeś prawą stronę równania?
Prymitywne, czyli najprostsze możliwe, niewymagające żadnej finezji. We wskazanym iloczynie jest \(\displaystyle{ s}\) składników i każdy jest \(\displaystyle{ \le n}\), więc ich iloczyn jest \(\displaystyle{ \le n^s.}\)
kaminie318 pisze: ↑17 cze 2023, o 19:37
Przepraszam z góry za takie być może trywialne dla was pytania ale nie jestem typowym matematykiem z wykształcenia, zadanie robię na zaliczenie i nie wszystko jest dla mnie jasne a staram się zrozumieć
Nie ma problemu ale postaraj się skupić na naszych wskazówkach. Zapewniam, że odrobina skupienia i cierpliwości się opłaci. Idziesz do przodu z hintami mimo, że wcześniejsze nie są zrobione. Wróćmy więc do pierwszego faktu, który jest jedną z dwóch kluczowy obserwacji. Chcesz udowodnić, że \(\displaystyle{ s^s\le s!e^s}\).
Od teraz nie parz na Wiki w ogóle.
Myśl przykładami. Z faktu, że \(\displaystyle{ 3 \approx \pi }\) nie wynika, że \(\displaystyle{ \pi \le 3}\). Znaczek \(\displaystyle{ \approx }\) jest więc od teraz zabroniony.
Użyj faktu: dla każdego \(\displaystyle{ s\in\NN}\) istnieje \(\displaystyle{ \frac {1}{12s+1}<\lambda _{s}< \frac {1}{12s}}\) taki, że \(\displaystyle{ s!={\sqrt {2\pi s}}\;\left({\frac {s}{e}}\right)^{s}e^{\lambda _{s}}}\).
Możesz więc wstawić do nierówności, której dowodzić \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\;\left({\frac {s}{e}}\right)^{s}e^{\lambda _{s}}}\) zamiast \(\displaystyle{ s!}\). Uprość równoważnie to co otrzymasz. Jeśli będzie to prawdą to koniec.
dla pewnego \(\displaystyle{ \frac {1}{12s+1}<\lambda _{s}< \frac {1}{12s}}\).
skąd masz \(\displaystyle{ s!e^s=s^s\cdot {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\lambda _{s}}}\). Pozostaje zatem zauważyć, że \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\lambda _{s}}\ge 1.}\) Ale wiesz, że \(\displaystyle{ \lambda _{s}> \frac {1}{12s+1}}\), wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\frac {1}{12s+1}}\ge 1.}\)
kaminie318 pisze: ↑17 cze 2023, o 19:372) Co rozumiesz poprzez prymitywne oszacowanie? Na jakiej postawie oszacowałeś prawą stronę równania?
Prymitywne, czyli najprostsze możliwe, niewymagające żadnej finezji. We wskazanym iloczynie jest \(\displaystyle{ s}\) składników i każdy jest \(\displaystyle{ \le n}\), więc ich iloczyn jest \(\displaystyle{ \le n^s.}\)
JK
Ja bym to zrobił w następujący sposób:
Jeżeli \(\displaystyle{ s \in N}\) to \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}} \ge 2,50662827}\) oraz \(\displaystyle{ e^{\frac {1}{12s+1}}\ge 1 }\) to ich iloczyn jest na pewno \(\displaystyle{ \ge 1 }\)
Ja bym to zrobił w następujący sposób:
Jeżeli \(\displaystyle{ s \in N}\) to \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}} \ge 2,50662827}\) oraz \(\displaystyle{ e^{\frac {1}{12s+1}}\ge 1 }\) to ich iloczyn jest na pewno \(\displaystyle{ \ge 1 }\)
skąd wiadomo że każdy \(\displaystyle{ s \le n }\)?
Rzeczywiście, w przeciwnym razie wychodzi silnia z liczby ujemnej w mianowniku. Na jakiej podstawie Jan stwierdził istnienie równania z hintu 2? Jak obliczył prawą stronę tego równania względem lewej?
kaminie318 pisze: ↑18 cze 2023, o 00:10
Rzeczywiście, w przeciwnym razie wychodzi silnia z liczby ujemnej w mianowniku.
Zgadza się.
kaminie318 pisze: ↑18 cze 2023, o 00:10
Na jakiej podstawie Jan stwierdził istnienie równania z hintu 2? Jak obliczył prawą stronę tego równania względem lewej?
Trochę nie rozumiem o czym mówisz. Czy chodzi o równość:
którą Jan napisał? To znaczy czy pytasz skąd się bierze? Jeśli tak to odpowiedź jest prosta. Z definicji silni. W liczniku masz \(\displaystyle{ n!}\) czyli \(\displaystyle{ 1 \times 2 \times \dots \times n}\), a w mianowniku masz \(\displaystyle{ 1 \times 2 \times \dots \times (n-s)}\). Więc dużo się skróci. W zasadzie cały mianownik. I zostanie tylko ogon licznika złożony z tych wyrazów które już się nie skrócą: \(\displaystyle{ (n-s\red{+1})(n-s\red{+2})\dots n}\).
Czyli podsumowując to w całość:
Na początku wykorzystaliśmy wzór \(\displaystyle{ s^s\le s!e^s}\) (Proszę o wytłumaczenie dlaczego skąd on wziął się z wiki, na podstawie czego podstawiamy te wartości w nierówności). Kolejno upraszczając wyrażenie wychodzi nam \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\lambda _{s}}\ge 1}\). Na podstawie tego, iż \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-s)!}=\underbrace{(n-s+1)\cdot(n-s+2)\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n}_{s\text{ składników}}}\) jesteśmy w stanie stwierdzić, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-s)!} \le n^s}\). Ostatnim etapem jest przemnożenie nierówności \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-s)!} \le n^{s}}\) przez wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{s!} \le \frac{e^{s}}{s^{s}} }\) co w finalnym efekcie daje nam \(\displaystyle{ \frac{n!}{s!(n-s)!} \le \frac{n^{s}e^{s}}{s^{s}} }\) co równe jest tezie z zadania, CND?
kaminie318 pisze: ↑18 cze 2023, o 17:07Na początku wykorzystaliśmy wzór \(\displaystyle{ s^s\le s!e^s}\) (Proszę o wytłumaczenie dlaczego skąd on wziął się z wiki, na podstawie czego podstawiamy te wartości w nierówności). Kolejno upraszczając wyrażenie wychodzi nam \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\lambda _{s}}\ge 1}\).
Nie.
Nie "wykorzystaliśmy wzór \(\displaystyle{ s^s\le s!e^s}\)", tylko udowodniliśmy tę nierówność korzystając z wersji wzoru Stirlinga, który wzięliśmy z wiki. Uzasadniłeś, że \(\displaystyle{ {\sqrt {2\pi s}}\cdot e^{\frac{1}{12s+1}}\ge 1}\), a następnie wykorzystałeś tę nierówność w połączeniu ze wspomnianym wzorem Stirlinga i jako wniosek otrzymałeś nierówność \(\displaystyle{ s^s\le s!e^s}\).
Masz spory problem z ustaleniem, co jest przesłanką, a co wnioskiem.
kaminie318 pisze: ↑18 cze 2023, o 17:07Na podstawie tego, iż \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-s)!}=\underbrace{(n-s+1)\cdot(n-s+2)\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n}_{s\text{ składników}}}\) jesteśmy w stanie stwierdzić, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-s)!} \le n^s}\). Ostatnim etapem jest przemnożenie nierówności \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-s)!} \le n^{s}}\) przez wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{s!} \le \frac{e^{s}}{s^{s}} }\) co w finalnym efekcie daje nam \(\displaystyle{ \frac{n!}{s!(n-s)!} \le \frac{n^{s}e^{s}}{s^{s}} }\) co równe jest tezie z zadania, CND?
Tak (ale nie "jest równe tezie", tylko jest "równoważne tezie").
