Matematyka.pl

Paweł i Gaweł maja pewną liczbę samochodzików. W trakcie zabawy dzielą wszystkie samochodziki między siebie, tak, aby każdy z nich miał co najmniej dwa samochodziki. gdyby dostali jeszcze jeden samochodzik, to liczba możliwych podziałów wzrosłaby o 1022. Ile samochodzików mają chłopcy?

\(\displaystyle{ n}\) samochodzików można rozdielić pomiędzy chłoców na \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) sposobów (pierwszy dostaje Paweł albo Gaweł, drugi dostaje Paweł albo Gaweł itd.). Musimy odrzucić 2 przypadki - gdy Paweł dostał wszystkie samochodziki, a Gaweł żadnego i odwrotnie. Oprócz tego jest n przypadków takich, że Paweł dostał 1 samochodzik (mógł dostać pierwszy, drugi, ... n-ty), a Gaweł pozostałe i n przypadków, że to gaweł dostał jeden samochodzik. Tak więc liczba możliwych podziałow to \(\displaystyle{ 2^{n}-2-2n}\). Układamy równanie \(\displaystyle{ 2 ^{n+1}-2-2(n+1)=2^{n}-2-2n+1022}\) Z tego \(\displaystyle{ 2 ^{n}=1024}\), czyli \(\displaystyle{ n=10}\)