Matematyka.pl

Każdy punkt płaszczyzny pomalowano jednym z kolorów: niebieskim lub czerwonym. Udowodnić, że istnieje trójkąt o kątach \(\displaystyle{ 80^{o}, 80^{o}, 20^{o}}\)
o jednokolorowych wierzchołkach.

Wybieram dwa punkty w tym samym kolorze i przypisuję im nazwy A i B. Rozpatruję punkt C będący środkiem odcinka AB, punkt D który jest obrazem punktu A w symetrii względem punktu B, oraz punkt E który jest obrazem punktu B w symetrii względem punktu A.
Możliwe przypadki:
1) A, B i C są w tym samym kolorze
2) A, B i D są w tym samym kolorze
3) A, B i E są w tym samym kolorze
4) Jeśli nie zachodzi przypadek 1), 2) i 3) to punkty C, D, i E są w tym samym kolorze, lecz innym niż A i B.
Niezależnie od tego który z przypadków zachodzi, mam takie trzy punkty w tym samym kolorze, że jeden z nich jest środkiem odcinka o końcach w pozostałych punktach. Punkty te etykietuję kolejno literami K, L i M.
Rozpatruję trójkąt równoramienny KMO o kącie ( O ) między ramionami równym 20 stopni, i leżące w nim trójkąty równoramienne KLP i LMQ o kątach ( P i Q ) między ramionami równych 20 stopni.
Jeżeli choć jeden z punktów O, P i Q jest w kolorze K, L i M to teza jest spełniona. Jeśli tak nie jest, to trójkąt OPQ spełnia tezę.