Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 20}\) dziewczyn usiadło w kółku. Na początku jedna z nich trzyma \(\displaystyle{ N < 19}\) kamieni. W każdym ruchu jedna z dziewczyn, która posiada co najmniej dwa kamienie daje po jednym każdej ze swoich sąsiadek. Gra kończy się, gdy każda z dziewczyn trzyma co najwyżej jeden kamień. Wykazać, że gra musi się skończyć po skończonej liczbie ruchów.

Rozwiązanie to można przedstawić za pomocą tzw. funkcji potencjału, która mierzy ilość kamieni, jakie dziewczyny trzymają. Rozważmy sumę kamieni, jakie trzymają wszystkie dziewczyny w danym momencie. Na początku, gdy gra się zaczyna, suma ta wynosi N.

W każdym ruchu liczba kamieni w grze się zmniejsza, ponieważ dziewczyny, które mają co najmniej dwa kamienie, oddają po jednym każdej ze swoich sąsiadek. Przekazywanie kamieni powoduje, że suma maleje. Załóżmy, że gra nigdy się nie zakończy. Oznacza to, że dziewczyny będą nadal przekazywać kamienie w nieskończoność.

Jednak liczba kamieni w grze nie może maleć w nieskończoność, ponieważ każda dziewczyna ma co najmniej 0 kamieni, a kamienie nie mogą zniknąć. Ostatecznie suma kamieni musi osiągnąć najmniejszą możliwą wartość, czyli 0 (każda dziewczyna trzyma co najwyżej jeden kamień).

To jest sprzeczność: na początku suma kamieni wynosi N, a w nieskończoność osiąga 0. Ponieważ nie możemy mieć ujemnej liczby kamieni, nasze założenie, że gra nigdy się nie zakończy, jest fałszywe.

Wniosek: Gra musi się zakończyć po skończonej liczbie ruchów, ponieważ nie jest możliwe, aby liczba kamieni w grze zmniejszała się w nieskończoność.

Marek Ostrowski pisze: ↑20 sie 2023, o 19:54W każdym ruchu liczba kamieni w grze się zmniejsza, ponieważ dziewczyny, które mają co najmniej dwa kamienie, oddają po jednym każdej ze swoich sąsiadek. Przekazywanie kamieni powoduje, że suma maleje.

To brzmi magicznie. Mógłbyś wytłumaczyć, w jaki sposób przekazywanie kamieni powoduje, że liczba kamieni w grze maleje ("suma kamieni" nie bardzo ma sens)? Znikają?

JK

PS To znów wygląda, jakby ChatGPT napisał "dowód"...

I z pewnością tak jest. Żaden idiota białkowy by nie wymyślił funkcji potencjału