Matematyka.pl

Witam.

Zadanie pochodzi ze słynnego "niebieskiego Pawłowskiego".
Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ |12^m-5^n|}\), gdzie \(\displaystyle{ m \ i \ n}\) są liczbami naturalnymi.

W rozwiązaniu firmowym jedna rzecz nie do końca mi pasuje, chociaż dziwne by było, gdyby był to błąd...
Otóż przy założeniu, że ta wartość jest równa jeden, dochodzi warunek postaci \(\displaystyle{ 12^m \equiv \pm 1 (mod \ 5)}\) i ponieważ \(\displaystyle{ 12^1 \equiv 2 (mod \ 5) , \ 12^2 \equiv -1 (mod \ 5) , \ 12^3 \equiv 3 (mod \ 5) , \ 12^4 \equiv 1 (mod \ 5)}\), to wg rozwiązania \(\displaystyle{ m}\) musi być podzielne przez 4. Jak dla mnie jest to błąd, ponieważ dlaczego mielibyśmy odrzucać te \(\displaystyle{ m}\) dla których mamy przystawanie do -1? Moim zdaniem \(\displaystyle{ m}\) powinno być podzielne przez 2, bo w przeciwnym razie odrzucimy przecież również dobre wyniki...

Na samym końcu rozwiązania jest natomiast coś takiego:
\(\displaystyle{ |12^m-5^n|=|12^{4k}-5^{2l}|=|12^{2k}+5^l| \cdot |12^{2k}-5^l| \neq 1}\)

Natomiast po mojej "poprawce" (o ile jest prawdziwa) będzie:
\(\displaystyle{ |12^m-5^n|=|12^{2k}-5^{2l}|=|(12^k-5^l) \cdot (12^k+5^l)| \neq 1}\)
i wszystko "gra", bo prawa strona i tak już jest dużo większa niż 7, prawda?

Pozdrawiam, P.

patry93 pisze:Moim zdaniem \(\displaystyle{ m}\) powinno być podzielne przez 2, bo w przeciwnym razie odrzucimy przecież również dobre wyniki...

Racja.

Zaczynając od tego, że dla m=n=1 wartość tego wyrażenia wynosi \(\displaystyle{ 7}\) musimy sprawdzić, czy wartość tego wyrażenia może należeć do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 6,5,4,3,2,1,0\right\}}\). Czyli musimy sprawdzić, czy wartość bez modułu może należeć do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6\right\}}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ 12^{m}}\) a nie dzieli \(\displaystyle{ 5 ^{n}}\), to wartość ta nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ 12 ^{m}}\) a nie dzieli \(\displaystyle{ 5 ^{n}}\), więc wartość ta nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Na podobnej zasadzie wartość ta nie jest też podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Zatem musimy sprawdzić, czy wartość ta może należeć do zbioru \(\displaystyle{ \left\{-1,1\right\}}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 12 ^{m}-5 ^{n}=1}\)
\(\displaystyle{ 12 ^{m}-1=5 ^{n}}\)
Lewa strona równania jest podzielna przez 11 a prawa nie, co daje sprzeczność.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 12 ^{m}-5 ^{n}=-1.}\)
\(\displaystyle{ 12 ^{m}=5 ^{n}-1}\)
\(\displaystyle{ 12 ^{m}=4 \cdot ( 5 ^{n-1}+5 ^{n-2}+...+5 ^{1}+1)}\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot 12 ^{m-1}= 5 ^{n-1}+5 ^{n-2}+...+5 ^{1}+1}\)
Lewa strona jest parzysta. Jedynym wyjątkiem mogłoby być m-1=0 ale ten przypadek już rozpatrzyliśmy na samym początku. Czyli prawa strona też jest parzysta, więc ilość składników po prawej stronie musi być parzysta. Czyli n=2k, k jest naturalne.

\(\displaystyle{ 12 ^{m}=5 ^{2k}-1}\)
\(\displaystyle{ 12 ^{m}=(5 ^{k}-1)(5 ^{k} +1)}\)
Lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2 ^{a}}\), gdzie \(\displaystyle{ 2|a}\). Lub inaczej mówiąc lewa strona jest podzielna przez potęgę liczby \(\displaystyle{ 4}\).
Prawa strona to iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych. Więc jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) a druga nie. Czyli prawa strona dzieli się przez nieparzystą potęgę dwójki, co prowadzi do sprzeczności.
Zatem \(\displaystyle{ \min(|12 ^{m}-5 ^{n}|)=7}\).

krzjas42 pisze:\(\displaystyle{ 12 ^{m}=(5 ^{k}-1)(5 ^{k} +1)}\)Więc jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) a druga nie. Czyli prawa strona dzieli się przez nieparzystą potęgę dwójki, co prowadzi do sprzeczności.

Jedna z liczb może być podzielna np. przez 8, wówczas Twój argument nie działa (np. dla \(\displaystyle{ k=2}\) prawa strona jest równa \(\displaystyle{ 2^4 \cdot 3 \cdot 13}\)). To jest do poprawy.

A może tak:

\(\displaystyle{ 12 ^{m}=\left( 5 ^{k}-1 \right) \cdot \left( 5 ^{k}+1 \right)}\)
Lewa strona jest podzielna przez 3, więc prawa też. Ale największym możliwym dzielnikiem \(\displaystyle{ 5 ^{k}-1}\) i \(\displaystyle{ 5 ^{k}+1}\) może być \(\displaystyle{ 2}\). Zatem jedna i tylko jedna z tych liczb jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), a więc także przez \(\displaystyle{ 3 ^{m}}\). Więc jedna z nich jest postaci \(\displaystyle{ 3 ^{m} \cdot 2 ^{l}}\) a druga postaci \(\displaystyle{ 2 ^{2m-l}}\).

Mamy dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ 5 ^{k}-1=3 ^{m} \cdot 2 ^{l}}\)
\(\displaystyle{ 5 ^{k}+1=2 ^{2m-l}}\)
Po odjęciu stornami dostajemy
\(\displaystyle{ 2 ^{2m-l} -3 ^{m} \cdot 2 ^{l}=2}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{2m-l-1} -3 ^{m} \cdot 2 ^{l-1}=1}\)
Czyli jedna z potęg dwójki musi być równa \(\displaystyle{ 0}\) ponieważ w przeciwnym wypadku lewa strona byłaby parzysta.
Zatem \(\displaystyle{ 2m-l-1=0}\) lub \(\displaystyle{ l-1=0}\)
Pierwsza możliwość to inaczej \(\displaystyle{ 2m-l=1}\), co w porównaniu z \(\displaystyle{ 5 ^{k}+1=2 ^{2m-l}}\) daje \(\displaystyle{ 5 ^{k} =1}\), czyli sprzeczność.
Dla \(\displaystyle{ l=1}\) mamy \(\displaystyle{ 5 ^{k}-1=3 ^{m} \cdot 2}\).
Tutaj Lewa strona jest podzielna przez 4 a prawa nie.

2)\(\displaystyle{ 5 ^{k}-1=2 ^{l}}\)
\(\displaystyle{ 5 ^{k}+1=2 ^{2m-l} \cdot 3 ^{m}}\)
Co po odjęciu stronami daje \(\displaystyle{ 2 ^{2m-l} \cdot 3 ^{m}-2 ^{l}=2}\), czyli
\(\displaystyle{ 2 ^{2m-l-1} \cdot 3 ^{m}-2 ^{l-1}=1}\)
Co znowu daje \(\displaystyle{ 2m-l-1}\) lub \(\displaystyle{ l-1=0}\)
Dla \(\displaystyle{ l=1}\) z pierwszego równania dostajemy \(\displaystyle{ 5 ^{k}=3}\), czyli sprzeczność.
Dla \(\displaystyle{ 2m-l-1=0}\) mamy \(\displaystyle{ 3 ^{m}-2 ^{l-1}=1}\)
Albo inaczej \(\displaystyle{ 3 ^{m}-1=2 ^{l-1}}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot (2 ^{m-1}+2 ^{m-2}+...+2 ^{1}+1)=2 ^{l-1}}\)
Co dla \(\displaystyle{ l \ge 3}\) daje, że m jest parzyste. \(\displaystyle{ m=2p}\)
\(\displaystyle{ 3 ^{2p}-1=2 ^{l-1}}\)
\(\displaystyle{ \left( 3 ^{p}-1 \right) \cdot \left( 3 ^{p}+1 \right)=2 ^{l-1}}\)
Jedyne dwie potęgi dwójki różniące się o \(\displaystyle{ 2}\) to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\), co daje \(\displaystyle{ p=1}\), czyli \(\displaystyle{ m=2}\) i \(\displaystyle{ l=4}\).
Ale to w porównaniu z \(\displaystyle{ 5 ^{k}-1=2 ^{l}}\) daje \(\displaystyle{ 5 ^{k}=17}\).
Założyłem tutaj, że \(\displaystyle{ l \ge 3}\), ale po sprawdzeniu \(\displaystyle{ l=1}\) wychodzi sprzeczność a dla \(\displaystyle{ l=2}\) m wyszłoby nie całkowite. Co kończy drugi przypadek a zarazem dowód.

Witam
Można zdecydowanie skrócić rozwiązanie krzjas:
\(\displaystyle{ 4^{m}=2^{2m} \rightarrow l=2m}\) (bo chyba z tego założenia wychodziłeś)
w dalszym rozumowaniu mamy:
\(\displaystyle{ 1) \begin{cases} 5^{k} -1=3^{m} \cdot 2^{l}\\
5^{k}+1=2^{2m-l}\end{cases}}\)
a przecież \(\displaystyle{ 2m-l=0}\), więc mamy sprzeczność. Tak samo drugi przypadek:
\(\displaystyle{ 2) \begin{cases} 5^{k} -1=2^{l}\\
5^{k}+1=2^{2m-l}\cdot 3^{m} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 5^{k}+1=2^{0}\cdot 3^{m}}\)
\(\displaystyle{ 5^{k}+1=3^{m}}\) ...


Przepraszam, ale to mój pierwszy post na forum

Właśnie się zastanawiałem, czy ktoś odświeży to zadanie przed upływem 5 listopada