Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 1+3^m=5^n+3^k}\)
k, m, n= ?

k,m,n są naturalne?

tak

Jedno grupa rozwiązań:
\(\displaystyle{ m=k \\
n = 0}\)
A tak poza tym, to: \(\displaystyle{ m>k}\)
Przedstawmy równanie w innej postaci:
\(\displaystyle{ 3^m - 3^k = 5^n - 1}\)
Prawa strona musi być podzielna przez trzy, zatem n jest parzyste. Widzimy też, że wartość prawej strony równania ma 4 jako cyfrę jedności (ponieważ \(\displaystyle{ 5^n}\) ma na tym miejscu 5).
Zatem i lewa strona musi mieć cyfrę jedności równą 4. Na szczęście kolejne potęgi 3 mają tylko 4 możliwości cyfr jedności (1,3,9,7), które zmieniają się cyklicznie. Widać, że szczęście dają nam cyfry 7 i 3, czyli m i k muszą być postaci:
\(\displaystyle{ m = 4r+3 \\
k = 4l + 1}\)
Na razie tyle. (ciąg dalszy być może nastąpi)

cóż za dyskryminacja, przecież pary 3 i 9, a także 1 i 7 też w tym przypadku dadzą szczęście

Chyba oślepłem na chwilę, jak pisałem poprzedniego posta.

Ciekawe zadanko . Dla k,n,m=0 lub k=1 problem nie jest bardzo trudny (dla k=1 robimy podobnie jak poniżej, równanie przekształcamy do postaci \(\displaystyle{ 3^3 (3^{m-3}-1)=5^2 (5^{n-2}-1)}\) i skaczemy z dzielnikami), dla wyższych:

(1) Rozpatrując mod 3 mamy dostajemy: \(\displaystyle{ n=2a}\)

(2) Przekształcamy: \(\displaystyle{ L=3^k(3^{m-k}-1)=5^n-1=P}\), z (1): \(\displaystyle{ (5^2-1)|(5^n-1)}\), zatem 24|P

(3) Z poprzedniego podpunktu: 8|L, czyli rozpatrując nawias po lewej stronie mod 8 dostajemy, że \(\displaystyle{ m-k=2b}\)

(4) Nasze równanie przedstawia się jako: \(\displaystyle{ \boxed{3^k(9^b-1)=25^a-1}}\)

(5) Ponieważ k>1, to 9|L, zatem mod 9 dostajemy: \(\displaystyle{ a=3c}\), z tego \(\displaystyle{ 7|(25^3-1)|(25^a-1)}\)

(6) Zatem lewa strona jest podzielna przez 7, skąd łatwo otrzymać \(\displaystyle{ b=3d}\), czyli: \(\displaystyle{ 13|(9^3-1)|(9^b-1)}\)

(7) Czyli prawa strona jest podzielna przez 13, stąd: \(\displaystyle{ 2|a}\), stąd: \(\displaystyle{ 16|(25^2-1)|(25^a-1)|P}\)

(8) Gdyby 2|b, to lewa strona byłaby podzielna przez 5 - sprzeczność, zatem b jest nieparzyste, co za tym idzie, lewa strona nie dzieli się przez 16.

(Podsumowanie): (7) i (8) stoją w sprzeczności - dla rozpatrzonych przypadków brak rozwiazań