[Równania] Wykazać że dana liczba jest liczbą naturalną

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 maja 2009, o 17:03

Wykazać, że liczba:

\(\displaystyle{ 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 40 \cdot 299 \cdot \sin10^{\circ} \cdot \cos 160^{ \circ} \cdot \sin 130^{ \circ} \cdot [ \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{3}) + \log_{\frac{1}{2}} ( \sqrt{6} - \sqrt{2})]}\)

jest liczbą naturalną. Ile dzielników będących liczbami naturalnymi ma ta liczba?

kuba746 · Post autor: **kuba746** » 3 maja 2009, o 17:29

To zadanie było w Warszawie. niestety ale nie wymyśliłem jak policzyć \(\displaystyle{ sin10}\) jakbym to miał to by już poszło. Te logarytmy to po prostych przekształceniach dają -1 a \(\displaystyle{ sin10\cdot cos160 \cdot sin130 = -\frac{1}{8}}\) tak kalkulator mówi

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 maja 2009, o 17:39

no tak, logarytmy policzyłem bez problemu, ale co zrobić z tymi sinusami i liczbami ?

kuba746 · Post autor: **kuba746** » 3 maja 2009, o 17:46

no z tymi sinusami to nie wiem nawet nie chce mi się nad tym myśleć a na ilość podzielników jest odpowiedni wzorek tzn. rozkładasz liczbę na czynniki pierwsze np. \(\displaystyle{ 120=2^3\cdot 3 \cdot 5}\) to liczbę jej dzielników liczymy tak że do każdego wykładnika dodajemy 1 i mnożymy czyli \(\displaystyle{ 4*2*2=16}\)

frej · Post autor: **frej** » 3 maja 2009, o 17:50

\(\displaystyle{ = sin10^\circ (-cos 20^\circ ) cos 40^\circ = \frac{8 cos10 ^\circ sin10^\circ (-cos 20^\circ ) cos 40^\circ}{8 cos 10 ^\circ } = \frac{-sin 80^\circ }{8 cos10^\circ } = \frac{-1}{8}}\)

kuba746 · Post autor: **kuba746** » 3 maja 2009, o 18:01

frej, a skąd wiesz że \(\displaystyle{ \frac{sin80}{cos10}=1}\)??

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 maja 2009, o 18:05

Bo sin 80 = sin (90-10) = cos 10

Ja mam pytanie, jak to się stało, że ten licznik zamienił się na sin 80 ?

kuba746 · Post autor: **kuba746** » 3 maja 2009, o 18:06

z sinusa podwojonego kąta

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 maja 2009, o 18:15

Coś tego nie widzę. Mógłbyś pokazać?

frej · Post autor: **frej** » 3 maja 2009, o 18:16

\(\displaystyle{ 8 sin 10 cos 10 cos 20 cos 40 = 4 sin 20 cos 20 cos 40 = 2 sin 40 cos 40 = sin 80 = cos10}\)

kuba746 · Post autor: **kuba746** » 3 maja 2009, o 18:17

a no fakt wzory redukcyjne

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 maja 2009, o 18:36

czyli w konsekwencji uzyskujemy liczbę \(\displaystyle{ 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 299 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 23 \cdot 13}\) co oczywiście musi być liczbą naturalną, a więc dowód jest zakończony, poza tym liczba ma 128 dzielników, tak ?

kuba746 · Post autor: **kuba746** » 3 maja 2009, o 18:37

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 maja 2009, o 18:43

A dałoby radę może w jakiś inny sposób pozbyć tych wartości z funkcjami trygonometrycznymi? Bo ja bym na to chyba nigdy nie wpadł...

snm · Post autor: **snm** » 9 maja 2009, o 13:45

Jak ktoś nie ma pomysłu takiego to najprościej będzie przekształcić wszystko na cosinusy, czyli \(\displaystyle{ cos 80 \cdot (-cos20) \cdot cos 40}\) i dalej mamy \(\displaystyle{ z=cos 20 + i sin 20 \Leftrightarrow cos 20=\frac{z+\overline{z}}{2}}\) i analogicznie dla \(\displaystyle{ cos40}\) i \(\displaystyle{ cos 80}\), mnożymy 3 liczby (co jest nietrudne) i mamy