[Nierówności] wykazanie nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 696
- Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: marki
- Podziękował: 165 razy
- Pomógł: 20 razy
[Nierówności] wykazanie nierówności
Wykaż że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) mamy \(\displaystyle{ \ds \frac1{3!}+\frac3{4!}+\ldots+\frac{2n-1}{(n+2)!}<\frac12}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 222
- Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 32 razy
[Nierówności] wykazanie nierówności
Jeśli tym razem nigdzie się nie pomyliłem to:
Zachodzi \(\displaystyle{ \frac{2n-1}{(n+2)!} < \frac{1}{2^{n+1}}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), co można udowodnić indukcyjnie.
Po zsumowaniu powyższej nierówności dla każdego składnika i ograniczeniu sumy ciągu geometrycznego przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), wychodzi teza zadania.
Zachodzi \(\displaystyle{ \frac{2n-1}{(n+2)!} < \frac{1}{2^{n+1}}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), co można udowodnić indukcyjnie.
Po zsumowaniu powyższej nierówności dla każdego składnika i ograniczeniu sumy ciągu geometrycznego przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), wychodzi teza zadania.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2010, o 11:28 przez Fingon, łącznie zmieniany 4 razy.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 476 razy
[Nierówności] wykazanie nierówności
Przez indukcję można pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{2n-1}{(n+2)!} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{2n+1}}\)